2015高考数学(江苏卷)含答案

数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V圆柱=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。圆锥的体积公式：V圆锥13Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高。一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合123A，，，245B，，，则集合AB中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z满足234zi（i是虚数单位），则z的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量av=（2,1），bv=（1，-2），若manbvv=（9，-8）（m，nR），则m-n的值为______.7.不等式224xx的解集为________.8.已知tan2，1tan7，则tan的值为_______.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为。10.在平面直角坐标系xOy中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012Rmmymx相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。11.数列}{na满足11a，且11naann（*Nn），则数列}1{na前10项的和为。12.在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线122yx右支上的一个动点。若点P到直线01yx的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为。13.已知函数|ln|)(xxf，1,2|4|10,0)(2xxxxg，则方程1|)()(|xgxf实根的个数为。14.设向量)12,,2,1,0)(6cos6sin,6(coskkkkak，则1201)(kkkaa的值为。二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在ABCV中，已知2,3,60.ABACAo(1)求BC的长；（2）求sin2C的值。16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，已知1,ACBCBCCC.设1AB的中点为D，11.BCBCE求证：（1）11//DEAACC平面(2)11BCAB17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12ll，，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到12ll，的距离分别为5千米和40千米，点N到12ll，的距离分别为20千米和2.5千米，以12ll，所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数2ayxb（其中a，b为常数）模型.（I）求a，b的值；（II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆222210xyabab的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.19.（本小题满分16分）已知函数),()(23Rbabaxxxf。（1）试讨论)(xf的单调性；（2）若acb（实数c是与a无关的常数），当函数)(xf有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(，求c的值。20.设1234,,,aaaa是各项为正数且公差为d(0)d的等差数列（1）证明：31242,2,2,2aaaa依次构成等比数列；（2）是否存在1,ad，使得2341234,,,aaaa依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,ad及正整数,nk，使得231234,,,nnknknkaaaa依次构成等比数列？并说明理由。数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1.22.63.54.75.566.-37.xx︱-12（或（-1,2））8.39.710.22(1)2xy11.201112.2213.414.93二、解答题15.本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力.满分14分。解：（1）由余弦定理知，2221CC2Ccos4922372，所以C7．（2）由正弦定理知，CsinCsin，所以2sin6021sinCsinC77．因为C，所以C为锐角，则2327cosC1sinC177．因此212743sin2C2sinCcosC2777.16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分。证明：（1）由题意知，为1C的中点，又D为1的中点，因此D//C．又因为D平面11CC，C平面11CC，所以D//平面11CC．（2）因为棱柱111CC是直三棱柱，所以1CC平面C．因为C平面C，所以1CCC．又因为CC，1CC平面11CC，C平面11CC，1CCCC，所以C平面11CC．又因为1C平面11CC，所以1CC．因为1CCC，所以矩形11CC是正方形，因此11CC．因为C，1C平面1C，1CCC，所以1C平面1C．又因为1平面1C，所以11C．17.本小题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用，考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解：（1）由题意知，点，的坐标分别为5,40，20,2.5．将其分别代入2ayxb，得40252.5400abab，解得10000ab．（2）①由（1）知，21000yx（520x），则点的坐标为21000,tt，设在点处的切线l交x，y轴分别于，点，32000yx，则l的方程为2310002000yxttt，由此得3,02t，230000,t．故22622433000341022tftttt，5,20t．②设624410gttt，则6516102gttt．令0gt，解得102t．当5,102t时，0gt，gt是减函数；当102,20t时，0gt，gt是增函数．从而，当102t时，函数gt有极小值，也是最小值，所以min300gt，此时min153ft．答：当102t时，公路l的长度最短，最短长度为153千米．18.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查分析问题及运算求解能力.满分16分.（1）由题意，得22ca且23acc，解得2a，1c，则1b，所以椭圆的标准方程为2212xy．（2）当x轴时，2，又C3，不合题意．当与x轴不垂直时，设直线的方程为1ykx，11,xy，22,xy，将的方程代入椭圆方程，得2222124210kxkxk，则221,2222112kkxk，C的坐标为2222,1212kkkk，且222222121212221112kxxyykxxk．若0k，则线段的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．从而0k，故直线C的方程为222121212kkyxkkk，则点的坐标为22522,12kkk，从而2222311C12kkkk．因为C2，所以2222223114211212kkkkkk，解得1k．此时直线方程为1yx或1yx．19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分。解：（1）232fxxax，令0fx，解得10x，223ax．当0a时，因为230fxx（0x），所以函数fx在,上单调递增；当0a时，2,0,3ax时，0fx，2,03ax时，0fx，所以函数fx在2,3a，0,上单调递增，在2,03a上单调递减；当0a时，2,0,3ax时，0fx，20,3ax时，0fx，所以函数fx在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减．（2）由（1）知，函数fx的两个极值为0fb，324327afab，则函数fx有三个零点等价于32400327affbab，从而304027aab或304027aba．又bca，所以当0a时，34027aac或当0a时，34027aac．设3427gaaac，因为函数fx有三个零点时，a的取值范围恰好是33,31,,22，则在,3上0ga，且在331,,22上0ga均恒成立，从而310gc，且3102gc，因此1c．此时，3221111fxxaxaxxaxa，因函数有三个零点，则2110xaxa有两个异于1的不等实根，所以22141230aaaa，且21110aa，解得33,31,,22a．综上1c．20.本小题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识研究与解决问题的能力.满分16分.解：（1）证明：因为112222nnnnaaada（1n，2，3）是同一个常数，所以12a，22a，32a，42a依次构成等比数列．（2）令1ada，则1a，2a，3a，4a分别为ad，a，ad，2ad（ad，2ad，0d）．假设存在1a，d，使得1a，22a，33a，44a依次构成等比数列，则34aadad，且6422adaad．令dta，则3111tt，且64112tt（112t，0t），化简得32220tt（），且21tt．将21tt代入（）式，21212313410tttttttt，则14t．显然14t不是上面方程得解，矛盾，所以