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1万有引力与航天一、选择题1．(2013·黄冈模拟)甲是在地球表面附近运行的近地卫星，乙是地球的同步卫星，已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球自转周期为T，乙运行高度为h，甲、乙的轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是()A．甲、乙的向心加速度均为零B．甲、乙均处于完全失重状态C．甲、乙的运动周期均为TD．甲的线速度为gR，乙的线速度为＋【解析】根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、向心加速度等物理量．由GMmr2＝mv2r得速度v＝GMr.对甲：v甲＝GMR＝gR，对乙：v乙＝GMR＋h＝gR2R＋h，D错．由GMmr2＝m(2πT)2r得周期T＝2πr3GM，T甲≠T乙，C错．由GMmr2＝ma可求向心加速度a甲≠0，a乙≠0，A错．甲、乙均处于完全失重状态，B正确．【答案】B2．已知地球的半径为6.4×106m，地球自转的角速度为7.27×10－5rad/s，地球的重力加速度为9.8m/s2，在地球表面发射卫星的第一宇宙速度为7.9×103m/s，第三宇宙速度为16.7×103m/s，月地中心间距离为3.84×108m．假设地球上有一棵苹果树长到月球那么高，则当苹果脱离苹果树后，将()A．落回地面B．飞向茫茫宇宙C．成为地球的“苹果月亮”D．成为地球的同步“苹果卫星”【解析】长在地球上的苹果树与地球自转的角速度大小相同，因此苹果树上的苹果的线速度v＝ωr＝7.27×10－5×3.84×108m/s＝27.9×103m/s＞16.7×103m/s.故当苹果脱离苹果树后，将脱离太阳系的束缚，飞向茫茫宇宙，故B正确．【答案】B3．两颗靠得较近的天体叫双星，它们以两者重心连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引在一起，以下关于双星的说法中正确的是()A．它们做圆周运动的角速度与其质量成反比2B．它们做圆周运动的线速度与其质量成反比C．它们所受向心力与其质量成反比D．它们做圆周运动的半径与其质量成正比【解析】双星的角速度相同，与质量无关，A不正确；不管双星质量大小关系如何，双星受到相互的吸引力总是大小相等的，分别等于它们做匀速圆周运动的向心力，C不正确；对于双星分别有GMmL2＝Mω2R，GMmL2＝mω2r，R∶r＝m∶M，D不正确；线速度之比V∶v＝m∶M，B正确．【答案】B4．(2013·江西八校联考)如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1；金星转过的角度为θ2(θ1、θ2均为锐角)，则由此条件无法求得()图2－2－6A．水星和金星绕太阳运动的周期之比B．水星和金星的密度之比C．水星和金星到太阳的距离之比D．水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比【解析】设水星、金星的公转周期分别为T1、T2，2πT1t＝θ1，2πT2t＝θ2，T1T2＝θ2θ1，A正确．因不知两星质量和半径，密度之比不能求，B错误．由开普勒第三定律，T21R31＝T22R32，R1R2＝3θ2θ12，故C正确．a1＝(2πT1)2R1，a2＝(2πT2)2R2，所以a1a2＝3θ41θ42，D正确．【答案】B5．英国《新科学家(NewScientist)》杂志评选出了年度世界8项科学之最，在XTEJ1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半径R约为45km.质量M和半径R的关系满足MR＝c22G(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为()A．108m/s2B．1010m/s23C．1012m/s2D．1014m/s2【解析】星球表面的物体满足mg＝GMmR2，即GM＝R2g，由题中所给条件MR＝c22G推出GM＝12Rc2，则GM＝R2g＝12Rc2，代入数据解得g＝1012m/s2，C正确．【答案】C6．(多选)(2012·江苏高考)2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图2－2－7所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的()图2－2－7A．线速度大于地球的线速度B．向心加速度大于地球的向心加速度C．向心力仅由太阳的引力提供D．向心力仅由地球的引力提供【解析】飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以ω飞＝ω地，由圆周运动线速度和角速度的关系v＝rω得v飞＞v地，选项A正确；由公式a＝rω2知，a飞＞a地，选项B正确；飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故C、D选项错．【答案】AB7．(多选)2013年6月我国的“天宫一号”和“神舟十号”成功实现两次对接．关于“天宫一号”与“神舟十号”，下列说法正确的是()A．如果测得“天宫一号”的轨道半径和它的周期，再利用引力常量，就可算出地球质量B．如果对接前“神舟十号”与“天宫一号”在同一轨道上一前一后运行，则它们的绕行速率和绕行周期就一定是相等的C．如果对接前“神舟十号”与“天宫一号”在同一轨道上一前一后沿着同一方向绕行(“神舟十号”在后)，若要对接，只需将“神舟十号”速率增大一些即可4D．飞船对接后，如果宇航员从飞船组合体舱内慢慢“走”到舱外，飞船组合体会因所受万有引力减小而使飞行速度减小【解析】对“天宫一号”，由GMmr2＝m4π2T2r，得M＝4π2r3GT2，故A正确；若“神舟十号”和“天宫一号”在同一轨道，轨道半径决定线速度、角速度和周期的大小，与质量无关，则B正确，D错误；若“神舟十号”和“天宫一号”在同一轨道，对“神舟十号”加速，将做离心运动，不可能与“天宫一号”对接，则C错误．【答案】AB8．(2012·浙江高考)如图2－2－8所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是()图2－2－8A．太阳对各小行星的引力相同B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值【解析】根据F＝GMmr2，小行星带中各小行星的轨道半径r、质量m均不确定，因此无法比较太阳对各小行星引力的大小，选项A错误；根据GMmr2＝m(2πT)2r得，T＝2πr3GM，因小行星绕太阳运动的轨道半径大于地球绕太阳运动的轨道半径，故小行星的运动周期大于地球的公转周期，即大于一年，选项B错误；根据GMmr2＝ma得a＝GMr2，所以内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；根据GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，所以小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项D错误．【答案】C二、非选择题9．我国启动“嫦娥工程”以来，分别于2007年10月24日和2010年10月1日将“嫦娥一号”和“嫦娥二号”成功发射，“嫦娥三号”亦有望在2013年落月探测90天，并已给落月点起了一个富有诗意的名字——“广寒宫”．5(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，求月球绕地球运动的轨道半径r；(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球落回抛出点．已知月球半径为r月，引力常量为G，试求月球的质量M月．【解析】(1)设月球和地球的质量分别为M月和M，由万有引力定律和向心力公式，得GM月Mr2＝M月(2πT)2r质量为m的物体在地球表面上时，有mg＝GMmR2联立解得r＝3gR2T24π2.(2)设月球表面处的重力加速度为g月，由匀变速直线运动的公式可得v0＝g月t2又有g月＝GM月r2月联立解得M月＝2v0r2月Gt.【答案】(1)r＝3gR2T24π2(2)M月＝2v0r2月Gt10.一组宇航员乘坐太空穿梭机S，去修理位于离地球表面h＝6.0×105m的圆形轨道上的太空望远镜H.机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭助推火箭，望远镜在穿梭机前方数千米处，如图2－2－9所示．已知地球半径为R＝6.4×106m，地球表面重力加速度为g＝9.8m/s2，第一宇宙速度为v＝7.9km/s.图2－2－9(1)穿梭机所在轨道上的向心加速度g′为多少？6(2)计算穿梭机在轨道上的速率v′；(3)穿梭机需先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度追上望远镜．试判断穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减小其原有速率，试说明理由．【解析】(1)由mg＝GMmR2，得地球表面的重力加速度为g＝GMR2，同理穿梭机所在轨道上的向心加速度为g′＝GMr2，联立以上两式并代入数据解得g′＝8.2m/s2.(2)由GMmR2＝mv2R，可得第一宇宙速度v＝GMR，同理穿梭机在轨道上的速率v′＝GMr，代入数据得v′＝7.6km/s.(3)应减速，由GMmr2＝mv′2r知穿梭机要进入较低轨道，必须有万有引力大于穿梭机做圆周运动所需的向心力，故当v′减小时，mv′2r减小，则GMmr2＞mv′2r.【答案】(1)8.2m/s2(2)7.6km/s(3)见解析