2015高考理科数学分类汇编----导数

-1-2015高考理科数学分类汇编----导数1.【2015高考福建，理10】若定义在R上的函数fx满足01f，其导函数fx满足1fxk，则下列结论中一定错误的是（）A．11fkkB．111fkkC．1111fkkD．111kfkk【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()gxfxkx，则''()()0gxfxk，故函数()gx在R上单调递增，且101k，故1()(0)1ggk，所以1()111kfkk，11()11fkk，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数()()hxfxx，则''()()10hxfx，所以函数()hx在R上单调递增，且10k，所以1()(0)hhk，即11()1fkk，11()1fkk，选项A,B无法判断，故选C．【考点定位】函数与导数．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．2.【2015高考陕西，理12】对二次函数2()fxaxbxc（a为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．1是()fx的零点B．1是()fx的极值点C．3是()fx的极值D.点(2,8)在曲线()yfx上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，2fxaxb，因为1是fx的极值点，3是fx的极值，所以1013ff，即203ababc，解得：23baca，因为点2,8在曲线yfx上，所以428abc，即42238aaa，解得：5a，所以10b，8c，所以25108fxxx，因为-2-21511018230f，所以1不是fx的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．3.【2015高考新课标2，理12】设函数'()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0f，当0x时，'()()0xfxfx，则使得()0fx成立的x的取值范围是（）A．(,1)(0,1)B．(1,0)(1,)C．(,1)(1,0)D．(0,1)(1,)【答案】A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．4.【2015高考新课标1，理12】设函数()fx=(21)xexaxa,其中a1，若存在唯一的整数0x，使得0()fx0，则a的取值范围是（）(A)[-32e，1）(B)[-32e，34）(C)[32e，34）(D)[32e，1）【答案】D【解析】设()gx=(21)xex，yaxa，由题知存在唯一的整数0x，使得0()gx在直线-3-yaxa的下方.因为()(21)xgxex，所以当12x时，()gx＜0，当12x时，()gx＞0，所以当12x时，max[()]gx=12-2e，当0x时，(0)g=-1，(1)30ge，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故(0)1ag，且1(1)3geaa，解得32e≤a＜1，故选D.【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论，本题用的就是思路2.5.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：xy-4-原始的最大流量是11010222162，设抛物线的方程为22xpy（0p），因为该抛物线过点5,2，所以2225p，解得254p，所以2252xy，即2225yx，所以当前最大流量是5323535522224022255255257575753xdxxx，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403，所以答案应填：1.2．【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线xa，xb，0y和曲线yfx所围成的曲边梯形的面积是bafxdx．6.【2015高考天津，理11】曲线2yx与直线yx所围成的封闭图形的面积为.【答案】16-5-【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.【2015高考湖南，理11】20(1)xdx.【答案】0.【解析】试题分析：0)21()1(22200xxdxx.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.7.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数2()mxfxexmx．(Ⅰ)证明：()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]xx，都有12()()1fxfxe，求m的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]．【解析】(Ⅰ)'()(1)2mxfxmex．若0m，则当(,0)x时，10mxe，'()0fx；当(0,)x时，10mxe，'()0fx．若0m，则当(,0)x时，10mxe，'()0fx；当(0,)x时，10mxe，'()0fx．所以，()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增．（Ⅱ）由(Ⅰ)知，对任意的m，()fx在[1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故()fx在0x处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]xx，12()()1fxfxe的充要条件是：-6-(1)(0)1,(1)(0)1,ffeffe即1,1,mmemeeme①，设函数()1tgtete，则'()1tgte．当0t时，'()0gt；当0t时，'()0gt．故()gt在(,0)单调递减，在(0,)单调递增．又(1)0g，1(1)20gee，故当[1,1]t时，()0gt．当[1,1]m时，()0gm，()0gm，即①式成立．当1m时，由()gt的单调性，()0gm，即1meme；当1m时，()0gm，即1meme．综上，m的取值范围是[1,1]．【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数'()(1)2mxfxmex，根据m的范围讨论导函数在(,0)和(0,)的符号即可；（Ⅱ）12()()1fxfxe恒成立，等价于12max()()1fxfxe．由12,xx是两个独立的变量，故可求研究()fx的值域，由(Ⅰ)可得最小值为(0)1f，最大值可能是(1)f或(1)f，故只需(1)(0)1,(1)(0)1,ffeffe，从而得关于m的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．8.【2015高考江苏，19】（本小题满分16分）已知函数),()(23Rbabaxxxf.（1）试讨论)(xf的单调性；（2）若acb（实数c是a与无关的常数），当函数)(xf有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(，求c的值.【答案】（1）当0a时，fx在,上单调递增；当0a时，fx在2,3a，0,上单调递增，在2,03a上单调递减；当0a时，fx在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减．（2）1.c-7-当0a时，2,0,3ax时，0fx，20,3ax时，0fx，所以函数fx在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减．（2）由（1）知，函数fx的两个极值为0fb，324327afab，则函数fx有三个零点等价于32400327affbab，从而304027aab或304027aba．又bca，所以当0a时，34027aac或当0a时，34027aac．设3427gaaac，因为函数fx有三个零点时，a的取值范围恰好是33,31,,22，则在,3上0ga，且在331,,22上0ga均恒成立，从而310gc，且3102gc，因此1c．此时，3221111fxxaxaxxaxa，-8-因函数有三个零点，则2110xaxa有两个异于1的不等实根，所以22141230aaaa，且21110aa，解得33,31,,22a．综上1c．【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系.9.【2015高考福建，理20】已知函数f()ln(1)xx=+，(),(k),gxkxR=?