国家教师资格考试-高中数学学科知识与教学能力

国家教师资格考试数学学科知识与教学能力温州大学黄友初大纲要求•高中：大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识。•其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。•初中：大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学课程中与中学数学密切相关的内容。•其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。数学分析函数与极限求极限：罗必塔法则、两个重要极限、无穷小量的等价替换、求分段函数的极限（用定义）、分母（分子）有理化；判断连续性：一般为分段函数、判断间断点的类别。例12723lim.49xxx求解227723(23)(23)limlim49(49)(23)xxxxxxxx27771limlim(49)(23)(7)(23)xxxxxxx156为非负整数时有和当nmba,0,000,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当方法：以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例2).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由准则1得.1)12111(lim222nnnnn例3.)(333的极限存在式重根证明数列nxn证,1nnxx显然;是单调递增的nx,331x又,3kx假定kkxx3133,3;是有界的nx.lim存在nnx,31nnxx,321nnxx),3(limlim21nnnnxx,32AA2131,2131AA解得(舍去).2131limnnx1sinlim0xxxexxx)11(limlim(1)bxcabxaex0lim(1)bcabxxaxe例4解1lim1xxxx121111limlim111xxxxxexxeex例5.sintan,0:的三阶无穷小为时当证明xxxx解30sintanlimxxxx)cos1sincos1(lim20xxxxxx,21.sintan的三阶无穷小为xxx2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxxxxxx193limxxxxx111319limxxxxx313311lim9990e例6例7.cos12tanlim20xxx求解.2~2tan,21~cos1,02xxxxx时当22021)2(limxxx原式.8若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．1.跳跃间断点.)(),0()0(,,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果xfxxfxfxxf例4.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点xoxy2.可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx例5.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy112xy1xy23.第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果xfxxxf例6.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点x.断点这种情况称为无穷间例8解.lim111xxx求)1(xxxeln111lim原式xxxe1lnlim111lim1xxe.1e例9解.)(cotlimln10xxx求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex取对数得)ln(cotln1lim0xxxxxxx1sin1cot1lim20xxxxsincoslim0,1.1e原式导数与微分复合函数求导、参数方程求导、取对数求导、隐函数求导、拉格朗日中值定理、罗尔定理、柯西定理、函数的极（最）值、凹凸性、曲率0000()()()limxfxxfxfxx0000()()lim()xfxkxfxkfxnxn0000()()limlimxxxfxfxyxxx分段函数的导数大多需要用定义来求。例10.arcsin22222的导数求函数axaxaxy解)arcsin2()2(222axaxaxy2222222222121xaaxaxxa.22xa)0(a例11.)2(21ln32的导数求函数xxxy解),2ln(31)1ln(212xxy)2(31211212xxxy)2(3112xxx隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法例12,.xyxy已知函数求解等式两边取对数得lnlnyxx两边求导得11lnln1yxxxyx(ln1)(ln1)xyyxxx.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytxdydydtdxdxdt例13解.sincos33表示的函数的二阶导数求由方程taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttattattan)(22dxdydxddxyd)cos()tan(3tatttatsincos3sec22tatsin3sec4近似公式由以上分析我们可知，当|△x|很小时，△y≈dy，即0()yfxx000()()()fxxfxfxx令000()()()fxxfxfxx00xxxxxx得000()()()()fxfxfxxx00x当时()(0)(0)fxffx例141.023求的近似值解1.0210.0233＝＋110.021.00673例15ln1.01求的近似值解ln1.01ln(10.01)0.01例163求8.02的近似值解23338.0281.00251.00250.002522(1)2.00167331+0.0025罗尔（Rolle）定理如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且在区间端点的函数值相等，即)()(bfaf,那末在),(ba内至少有一点)(ba,使得函数)(xf在该点的导数等于零，即0)('f)1()2()3(例如,32)(2xxxf).1)(3(xx,]3,1[上连续在,)3,1(上可导在,0)3()1(ff且))3,1(1(,1取.0)(f),1(2)(xxf一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,那末在),(ba内至少有一点)(ba，使等式))(()()('abfafbf成立.)1()2().()(:bfaf去掉了与罗尔定理相比条件中注意).()()(fabafbf结论亦可写成三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（Cauchy）中值定理如果函数)(xf及)(xF在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且)('xF在),(ba内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少有一点)(ba,使等式)()()()()()(''FfaFbFafbf成立.例17.)1ln(1,0xxxxx时证明当证),1ln()(xxf设,],0[)(上满足拉氏定理的条件在xxf)0(),0)(()0()(xxffxf,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx0又x111,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即(0,1)2()(1)()0.ff例18：设f（x）在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)，证明存在使得解：令()()(1)()Fxfxxxfx罗尔定理，因此在（0，1）内至少存在一点使得()0()(1)()0Fff()(1)()()(1)()0ffff显然F(x)满足2()(1)()0ff2()(1)()0ff泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor)中值定理如果函数)(xf在含有0x的某个开区间),(ba内具有直到)1(n阶的导数,则当x在),(ba内时,)(xf可以表示为)(0xx的一个n次多项式与一个余项)(xRn之和:)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(在0x与x之间).)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林(Maclaurin)公式曲线凹凸的判定xyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y定理.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在一阶和二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf).(xss单调增函数),,(yyxxN设如图，NTMTMNMN,0时当x22)()(yxMNxxy2)(1,12dxysMN,ds22)()(dydxMT,12dxydyyNT,0.12dxyds故,)(为单调增函数xss.12dxyds故弧微分公式NMTRA0xxxxxyoSS).M.MC0Myxo.sKMM的平均曲率为弧段设曲线C是光滑的，.0是基点M,sMM.切线转角为MM定义sKs0lim曲线C在点M处的曲率,lim0存在的条件下在dsdss.dsdK2、曲率的计算公式注意