2014全国高中数学联赛试题

2014全国高中数学联赛试题一、填空题1、若正数ba,)log(log3log232baba,则ba11的值为__________2、设集合}21|3{baba中的最大值与最小值分别为mM,，则mM=_________3、若函数|1|)(2xaxxf在),0[上单调递增，则a的取值范围为_______4、数列}{na满足)(1)2(2,211Nnannaann，则2013212014...aaaa=_________5、已知正四棱锥ABCDP中，侧面是边长为1的正三角形，NM,分别是边BCAB,的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是_____________6、设椭圆的两个焦点是21,FF，过点1F的直线与交于点QP,，若||||212FFPF，且||4||311QFPF，则椭圆的短轴与长轴的比值为__________7、设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I。若点P满足1PI，则ABC与APC的面积之比的最大值为__________8、设DCBA,,,是空间四个不共面的点，以21的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则BA,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________二、解答题9、平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上一个动点，满足条件：过P可作抛物线xy42的两条切线，两切点连线Pl与PO垂直。设直线Pl与PO，x轴的交点分别为RQ,，（1）证明：R是一个顶点（2）球||||QRPQ的最小值10、数列}{na满足))(arctan(sec,611Nnaaann求正整数m，使得1001sin......sinsin21maaa11、确定所有的复数，使得对任意的复数21,zz（2121,1|||,|zzzz），均有221121)()(zzzz2014全国高中数学联赛二试一、（本题满分40分）设Rcba,,，满足1cba，0abc，求证：412abcabcabc