2014小升初衔接教程第14讲《数学思想方法》

12014小升初衔接教程第十四讲《数学思想方法》一、集合思想集合：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。例如：某个班的全体学生，可以看成一个集合，某个书架上的所有书籍，可以当成一个集合。有时用集合思想来处理数学问题表现得更直观，更简洁，更深刻。【例1】所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，把下列各数填入相应的集合中：二、用字母表示数的思想用字母表示数的思想又叫代数思想。同学们在小学时有了具体的数的概念，而现在我们又用含有字母的式子表示现实生活中的数量关系，这样我们就从算术跨进了代数的大门。在具体的数学问题中，用字母表示数往往能使我们把问题看得更清楚。例1.计算：2005×20082008－2008×20052005例2.已知200613121B,2005131211A，计算A－B的值。例3、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：那么，当输入数据为8时，输出的数据为．例4学校组织教师和学生到森林公园春游，每位教师的车费为x元，每位学生的车费为y元，学生每满100人可优惠2人的车费，如果该校初一年级有教师15人，学生326人，则需要付给汽车公司的总费用为_______.三、整体思想.整体思想与方程思想一样是学习数学必备的思想，它应用于数学的方方面面，整体思想，即从问题的“整体”出发，根据问题的整体结构特征，把一组数或一个代数式或几个图形看作一个整体，从而使按常规解法不易求解的问题得到解决.正确运用这种思想，往往可以解决一些按常规解法不易求解的问题．貌似无解，实则“柳暗花明”，且能化繁为简，问题迎刃而解．事实上，经常运用整体思想考虑问题，可以提高我们的观察、分析和解决问题的能力．巧用这种思想解题，可使解题过程简捷迅速，且不易出错.例1、如果代数式238ab的值为18，那么代数式962ba的值等于例2若代数式x2＋3x-5的值为2，则代数式2x2＋6x-3的值为____.例3.若1,3xy，则3232)y2x()y2x(3)y2x(7)y2x(2的值为_______。43,127,61,12.8,7.2,0,73,8.4,11（正数集合）（负数集合）2例4、已知221xy，那么：2243xy___________．例5、若x―2y=5，则11―x+2y的值是__________。例6、已知代数式9-6y-4y2=7,则2y2+3y+7的值为。例7、已知2x2+xy=10,3y2+2xy=6,则4x2+8xy+9y2=______。例8、已知560n2mn3,384mn2m22，则440n6mn13m222的值为________例9、计算11111111111111(1)()(1)()23423452345234例10、如果a、b互为相反数，c、d为倒数，41n，求22nbacdn的值.四、数形结合思想例1、已知a0,b0,a+b0,用“＜”号把a,－a,b,－b连接起来。例2、往返于A、B两个城市的客车，中途有三个停靠点.（1）该客车有多少种不同的票价？（2）该客车上要准备多少种车票？例3、小红和小兰房间窗户的装饰物如图3所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径相同）.问谁的房间的光线好，请说明理由.EDCBA图33五、分类讨论思想当研究的问题包含多种情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况分别讨论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题的思想就叫分类思想。在有理数及其运算中，涉及分类讨论思想的知识点较多，比如：有关数轴、绝对值、偶次幂的题目往往涉及多种情况，要具备分类讨论思想，才能将题目回答完整.例1、若a是有理数，则a一定是（）（A）正数（B）负数（C）非负数（D）无法确定例2、若a为有理数，则a+a的值为（）A．负数B．非负数C．正数D．正数或负数例3、在式子1xx中由不同的x值代入，得到相应的值，所有这些值中最小值为＿＿＿。例4、如果a、b、c是非零有理数，求abcabc的值.例5、已知单项式n346m2bmabma3与中的m、n都是常数，并且这两个单项式的和仍是单项式，求m、n的值。六、方程思想方程思想是指对所求数学问题通过列方程（组）使问题获解，具体说就是把问题中已知量与未知量之间的数量关系转化为解方程（组）的数学问题，其实质是数学建模。方程思想是重要的数学思想.不管是一般的数学问题、还是实际应用题，只要存在相等关系就可以列出方程，解决问题。例1已知一个锐角的余角是这个锐角的补角的14，求这个锐角的度数。例2若0)1(22yx，那么20073)(yx＝.例3、小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：（1）用含x、y的代数式表示地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？4七、归纳思想“一般”包括“特殊”，“特殊”存在“一般”之中，通常用“特殊”的例子去猜想、探究，归纳出“一般”的规律，这种解题思想称为归纳思想.这也是数学中的一种重要的思想。从特殊到一般就是从特殊、个别的事例推出一般规律，这是一个归纳、创新的过程。从一般到特殊的思想通常是在运用从特殊到一般的思想方法之后，用总结出来的规律解决具体问题。例1、观察图（l）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则m=（用含n的代数式表示）.例2.已知222252597531,4167531,39531,2431，……，根据各式的规律，可以猜想第n（n为自然数）个式子为__________。例3.已知111111,1222323，则1________,(1)nn1111_________.12233420022003例4、你能比较20052004和20042005的大小吗?为了解决这个问题，我们可以写出它的一般形式，即比较1nn和1n的大小（n为正整数），然后从分析n=1,n=2,n=3…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想得出结论．（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（填“”“”或“=”）①2112②3223③4334④5445⑤6556…（2）从第（1）题的结果中经过归纳，可以猜想出1nn和nn1的大小关系是（3）根据上面归纳猜想得到的结论，试比较下列两组数的大小．①2005200420042005②2006200520052006八、转化思想例1、计算：234)5()3(3]53)32(313[例2、如图，一只壁虎在要从圆柱体A点沿着表面尽可能地爬到B点，因为B点处有它吃的一只蚊子，而它饿得快不行了，怎样爬行路线最短？图3A·B·图2A··B