2014届不等式选讲专题(二)柯西不等式

2014届不等式选讲专题（二）【柯西不等式】一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba二、二维形式的柯西不等式的变式bdacdcba2222)1(.),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba2222)2(.),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcba.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bcaddcbabdacdcba三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当kk原则：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2+b^2+c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3)*(1^2+1^2+1^2)*(a^2+b^2+c^2)就可以用柯西不等式了。考点一：求最值问题【1】、设6),2,1,2(ba，则ba之最小值为________；此时b________。【2】设a(1，0，2)，b(x，y，z)，若x2y2z216，则ab的最大值为。【4】设a、b、c为正数，求4936()()abcabc的最小值。【5】.设x，y，zR，且满足x2y2z25，则x2y3z之最大值为【6】设x，y，zR，若x2y2z24，则x2y2z之最小值为时，(x，y，z)【8】、设25,,,222zyxzyxR，试求zyx22的最大值与最小值。【9】、设622,,,zyxzyxR，试求222zyx之最小值。【10】设,,xyzR，226xyz，求222xyz的最小值m，并求此时x、y、z之值。【11】设x，y，zR，2x2yz80，则(x1)2(y2)2(z3)2之最小值为【12】设x,y,zR，若332zyx，则222)1(zyx之最小值为________，又此时y________。【13】设a，b，c均为正数且abc9，则cba1694之最小值为【14】、设a,b,c均为正数，且232cba，则cba321之最小值为________，此时a________。练习（1）求函数xxy21015的最大值。（2）已知12yx，求22yx的最小值。（3）求函数xxy2cos14sin3的最大值。（4）已知132zyx，求222zyx的最小值；考点二：利用柯西不等式证明不等式（1）巧拆常数：例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：cbaaccbba9222（2）重新安排某些项的次序：例2：a、b为非负数，a+b=1，Rxx21,求证：212121))((xxaxbxbxax（3）改变结构：例3、若abc求证：cacbba411（4）添项：例4：Rcba,,求证：23bacacbcba练习：1已知正实数cba,,，且1cba，求证9111cba。2.已知正实数dcba,,,，且1dcba，求证412222dcba。3.【已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求3a＋1＋3b＋1＋3c＋1的最大值．并确定a，b，c为何值时，等号成立．4.已知a＋b＋c＝1，m＝a2＋b2＋c2，求m的最小值．