2014届南京市高三数学综合题

南京清江花苑严老师1DABC2014届南京市高三数学综合题一、填空题1．已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为．2．如图：梯形ABCD中，AB//CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若AC→·BD→＝－12，则AD→·BC→＝．3．设α、β为空间任意两个不重合的平面，则：①必存在直线l与两平面α、β均平行；②必存在直线l与两平面α、β均垂直；③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．其中正确的是___________．（填写正确命题序号）4．圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，面积为23π的扇形，则圆锥的体积是______．5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________．6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为．7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝klog2x(k为常数，0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD为矩形，则k的值是___________．*8．已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且2a＋2b≤21＋c，则2a－2b2c的取值范围是_________．9．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的取值集合是．*10．数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，设Sn为{bn}的前n项和．若a12＝38a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值等于___________．二、解答题11．三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且2sinB＝3cosB．(1)若cosA＝13，求sinC的值；(2)若b＝7，sinA＝3sinC，求三角形ABC的面积．南京清江花苑严老师2AEDCB12．三角形ABC中，三内角为A、B、C，a＝(3cosA，sinA)，b＝(cosB，3sinB)，c＝(1，－1)．(1)若a·c＝1，求角A的大小；(2)若a//b，求当A－B取最大时，A的值．13．如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．(1)求证：AE//面DBC；(2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．南京清江花苑严老师3BCA1B1C1MNA14．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在面ABC中，AB＝23，BC＝4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N．(1)求证：N为AC中点；(2)平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．15．某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入的x万元之间满足：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②x∈(0，2am2m＋1]，其中m是常数．若x＝a2时，y＝a3．(1)求产品增加值y关于x的表达式；(2)求产品增加值y的最大值及相应的x的值．南京清江花苑严老师416．如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为π6．设S的眼睛距地面的距离按3米．(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．17．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2＝2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1)求灯罩轴线所在的直线方程；(2)若路宽为10米，求灯柱的高．MOSNBAyxABFDHC南京清江花苑严老师5OxyAMNB18．如图，在RtΔABC中，∠A为直角，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在直线AC上，斜边中点为M(2，0)．(1)求BC边所在直线的方程；(2)若动圆P过点N(－2，0)，且与RtΔABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆方程．19．如图，平行四边形AMBN的周长为8，点M，N的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(1)求点A，B所在的曲线L方程；(2)过L上点C(－2，0)的直线l与L交于另一点D，与y轴交于点E，且l//OA．求证：CD·CEOA2为定值．xyOABCTM南京清江花苑严老师6ABMPOlxym20．如图，在直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(2，62)．(1)求椭圆E的方程；(2)若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．(i)设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；*(ii)设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标.21．已知函数f(x)＝1x－a＋λx－b(a，b，λ为实常数)．(1)若λ＝－1，a＝1．①当b＝－1时，求函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程；②当b＜0时，求函数f(x)在[13，12]上的最大值．*(2)若λ＝1，b＜a，求证：不等式f(x)≥1的解集构成的区间长度D为定值．南京清江花苑严老师722．已知函数f(x)＝lnx(x＞0)．(1)求函数g(x)＝f(x)－x＋1的极值；*(2)求函数h(x)＝f(x)＋|x－a|(a为实常数)的单调区间；*(3)若不等式(x2－1)f(x)≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立，求实数k的取值范围．23．已知函数f(x)＝sinx－xcosx的导函数为f′(x)．(1)求证：f(x)在(0，π)上为增函数；(2)若存在x∈(0，π)，使得f′(x)＞12x2＋λx成立，求实数λ的取值范围；*(3)设F(x)＝f′(x)＋2cosx，曲线y＝F(x)上存在不同的三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，x1＜x2＜x3，且x1，x2，x3∈(0，π)，比较直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小，并证明．南京清江花苑严老师824．已知数集A＝{a1，a2，…，an}(0≤a1＜a2＜…＜an，n≥2，n∈N*)具有性质P：i，j(1≤i≤j≤n)，ai＋aj与aj－ai两数中至少有一个属于A．(1)分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：a1＝0；*(3)证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．25．设M≠N*，正项数列{an}的前项积为Tn，且k∈M，当n＞k时，Tn＋kTn－k＝TnTk都成立．(1)若M＝{1}，a1＝3，a2＝33，求数列{an}的前n项和；(2)若M＝{3，4}，a1＝2，求数列{an}的通项公式．南京清江花苑严老师9*26．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Mn}满足条件：M1=St1，当n≥2时，Mn=Stn－Stn－1，其中数列{tn}单调递增，且tn∈N*．（1）若an＝n，①试找出一组t1、t2、t3，使得M22＝M1M3；②证明：对于数列an＝n，一定存在数列{tn}，使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方；（2）若an＝2n－1，是否存在无穷数列{tn}，使得{Mn}为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{tn}；若不存在，说明理由．*27．已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n．(1)求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；(2)求1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋1a2n－1－1a2n的值．