第22届全国中学生物理竞赛预赛试题答案

1第22届全国中学生物理竞赛预赛参考解答一、国际物理（或世界物理）．相对论；光的量子性评分标准：本题10分．第1小问4分．第2小问6分（填写任意两项爱因斯坦的成果只要正确都给6分）．二、找个地方把弹簧测力计悬挂好，取一段细线做成一环，挂在弹簧测力计的挂钩上，让直尺穿在细环中，环与直尺的接触点就是直尺的悬挂点，它将尺分为长短不等的两段．用细线栓住木块挂在直尺较短的一段上，细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位置，使直尺平衡在水平位置（为提高测量精度，尽量使二悬挂点相距远些），如图所示．设木块质量为m，直尺质量为M．记下二悬挂点在直尺上的读数x1、x2，弹簧测力计读数G．由平衡条件和图中所设的直尺零刻度线的位置有GgMm)((1)2122)(xlMgxxmg(2)(1)、(2)式联立可得1222xlxlgGm(3)11222xlxxgGM(4)评分标准：本题17分．正确画出装置示意图给5分．（1）式、（2）式各4分，（3）式、（4）式各2分．三、自S作球的切线S，并画出S经管壁反射形成的虚像点S，及由S画出球面的切线SN，如图1所示，Gx20x1mMrMNSO2R图1SrMNSO2RS图2OR2由图可看出，只要MS和NS之间有一夹角，则筒壁对从S向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收．由图可看出，如果r的大小恰能使NS与MS重合，如图2，则r就是题所要求的筒的内半径的最大值．这时SM与MN的交点到球心的距离MO就是所要求的筒的半径r．由图2可得2sin1cosRRr（1）由几何关系可知RR2sin（2）由（1）、（2）式得Rr332（3）评分标准：本题18分．给出必要的说明占8分，求出r占10分．四、由巴耳末—里德伯公式)11(122nkR可知赖曼系波长最长的光是氢原子由n=2→k=1跃迁时发出的，其波长的倒数43112R(1)对应的光子能量为4311212RhchcE(2)式中h为普朗克常量．巴耳末系波长最短的光是氢原子由n=∞→k=2跃迁时发出的，其波长的倒数412R(3)对应的光子能量42RhcE(4)用A表示该金属的逸出功，则1eU和2eU分别为光电子的最大初动能．由爱因斯坦光电效应方程得AeURhc143(5)AeURhc24(6)3解得)3(221UUeA(7)RcUUeh)(221(8)评分标准：本题20分．(1)式3分，(2)式2分，(3)式3分，(4)式2分，(5)、(6)式各3分,(7)、(8)式各2分．五、设A与B碰撞前A的速度为v0，碰后A与B的速度分别为v1与V1，由动量守恒及机械能守恒定律有110kmVmmvv(1)212120212121kmVmmvv(2)由此解得011)1(vvkk(3)kV0112v(4)为使A能回到坡上，要求v10，这导致k1；为使A从坡上滑下后再能追上B，应有11Vv，即2)1(k，这导致3k，于是，为使第二次碰撞能发生，要求k3(5)对于第二次碰撞，令v2和V2分别表示碰后A和B的速度，同样由动量守恒及机械能守恒定律有：2211)(kmVmkmVmvv2222212121212121kmVmkmVmvv由此解得0222)1()1(4vvkkk(6)022)1()1(4vkkV(7)若v20，则一定不会发生第三次碰撞，若v20，且22Vv，则会发生第三次碰撞．故为使第三次碰撞不会发生，要求A第三次从坡上滑下后速度的大小)(2v不大于B速度的大小2V，即22Vv(8)由(6)、（7）、（8）式得05102kk（9）4由k2－10k+5=0可求得52528010k(9)式的解为525525k(10)(10)与(5)的交集即为所求：5253k(11)评分标准：本题25分．求得(3)、(4)式各得3分，求得（5）式得4分，求得（6）、（7）、（8）、（10）和（11）式各得3分．六、导体细杆运动时，切割磁感应线，在回路中产生感应电动势与感应电流，细杆将受到安培力的作用，安培力的方向与细杆的运动方向相反，使细杆减速，随着速度的减小，感应电流和安培力也减小，最后杆将停止运动，感应电流消失．在运动过程中，电阻丝上产生的焦耳热，全部被容器中的气体吸收．根据能量守恒定律可知，杆从v0减速至停止运动的过程中，电阻丝上的焦耳热Q应等于杆的初动能，即2021vmQ(1)容器中的气体吸收此热量后，设其温度升高T，则内能的增加量为TRUΔ25Δ(2)在温度升高T的同时，气体体积膨胀，推动液柱克服大气压力做功．设液柱的位移为lΔ，则气体对外做功lSpAΔ0(3)lSΔ就是气体体积的膨胀量lSVΔΔ(4)由理想气体状态方程RTpV，注意到气体的压强始终等于大气压0p，故有TRVpΔΔ0(5)由热力学第一定律UAQΔ(6)由以上各式可解得Spml0207Δv(7)评分标准：本题25分．（1）式6分，（2）式4分，（3）、（4）、（5）式各2分，（6）式5分，（7）式4分．5七、由电容C、C组成的串联电路的等效电容CCCCC串由电容C、C组成的并联电路的等效电容CCC并利用此二公式可求得图示的4个混联电路A、B间的等效电容Ca、Cb、Cc、Cd分别为32132312132121aCCCCCCCCCCCCCCC（1）23132312123131bCCCCCCCCCCCCCCC（2）33213231321321cCCCCCCCCCCCCCCC（3）23213221231231dCCCCCCCCCCCCCCC（4）由（1）、（3）式可知caCC（5）由（2）、（4）式可知dbCC（6）由（1）、（2）式可知baCC（7）由（3）、（4）式可知dcCC（8）若daCC，由（1）、（4）式可得0232312121CCCCCCC因为1C、2C和3C均大于0，上式不可能成立，因此daCC（9）若cbCC，由（2）、（3）式可得0232213121CCCCCCC643lFaObABCD因为1C、2C和3C均大于0，上式不可能成立，因此cbCC(10)综合以上分析，可知这四个混联电路的等效电容没有一对是相等的．评分标准：本题25分．（1）、（2）、（3）、（4）式各4分，得到（5）、（6）、（7）、（8）式各1分，得到（9）、（10）式共5分．八、如图所示，用bv表示a转过角时b球速度的大小，v表示此时立方体速度的大小，则有vvcosb（1）由于b与正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿水平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反，做功的总和为0．因此在整个过程中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械能的增量．现用av表示此时a球速度的大小，因为a、b角速度相同，lOa41，lOb43，所以得bavv31（2）根据功能原理可知22221cos434321cos4421sin4vvvmllgmmllgmmlFbbbaaa（3）将（1）、（2）式代入可得222)cos(21cos434321cos443121sin4bbbbabamllgmmllgmmlFvvv解得2cos18182cos13sin9mmmgmmFlbababv（4）评分标准：本题30分．（1）式7分，（2）式5分，（3）式15分，（4）式3分．九、将整个导体棒分割成n个小线元，小线元端点到轴线的距离分别为r0(=0)，r1，r2，……，ri-1，ri，……，rn-1，rn(=a)，第i个线元的长度为1Δiiirrr，当irΔ很小时，可以认为该线元上各点的速度都为iirv，该线元因切割磁感应线而产生的电动势为iiiiiiiirrKrrKrrBΔΔΔΔ2vE(1)7整个棒上的电动势为niiiniirrK121ΔΔEE(2)由32233ΔΔ3Δ3Δrrrrrrrr，略去高阶小量(Δr)2及(Δr)3，可得])[(31332rrrrr代入(2)式，得331331323031131i3i31)]()()[(31)(31aKrrrrrrKrrKnnniE(3)由全电路欧姆定律，导体棒通过的电流为RaKRI33E(4)导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反．第i个线元ir受到的安培力为iiiAirIKrrBIfΔΔΔ(5)作用于该线元的安培力对轴线的力矩iiiAiirKIrrfMΔΔΔ2作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为3131312131)(31ΔΔKIarrKIrrKIMMniiiniiinii即RωaKM962（6）因棒A端对导体圆环的正压力为21mg，所以摩擦力为mg21，对轴的摩擦力矩为mgaM21(7)其方向与安培力矩相同，均为阻力矩．为使棒在水平面内作匀角速转动,要求棒对于O轴所受的合力矩为零，即外力矩与阻力矩相等，设在A点施加垂直于棒的外力为f，则有MMfa（8）由(6)、(7)、（8）式得μmgRωaKf21952(9)评分标准：本题30分．求得（3）式得10分，（4）式2分；求得（6）式得8分，（7）式4分，（8）式4分，（9）式2分．