2014届高三数学(理)一轮复习课后作业(二十)三角函数的图象与性质

课后作业(二十)三角函数的图象与性质一、选择题1．(2013·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π3对称的函数是()A．y＝2sin(2x＋π3)B．y＝2sin(2x－π6)C．y＝2sin(x2＋π3)D．y＝2sin(2x－π3)2．函数y＝tan(π4－x)的定义域是()A．{x|x≠π4}B．{x|x≠kπ＋π4，k∈Z}C．{x|x≠－π4}D．{x|x≠kπ＋3π4，k∈Z}3．(2013·韶关模拟)设函数f(x)＝sin3x＋|sin3x|，则f(x)为()A．周期函数，最小正周期为2π3B．周期函数，最小正周期为π3C．周期函数，最小正周期为2πD．非周期函数4．已知函数f(x)＝sinx＋3cosx，设a＝f(π7)，b＝f(π6)，c＝f(π3)，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a5．(2013·佛山质检)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数二、填空题6．(2013·河源模拟)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________．7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－π6)(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，π2]，则f(x)的取值范围是________．8．已知函数f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间[－π4，π4]上是增函数；④f(x)的图象关于直线x＝3π4对称．其中真命题是________．三、解答题9．已知函数f(x)＝sinxcosx＋sin2x，(1)求f(π4)的值；(2)若x∈[0，π2]，求f(x)的最大值及相应的x值．10．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝π8，(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．11．已知a＞0，函数f(x)＝－2asin(2x＋π6)＋2a＋b，当x∈[0，π2]时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝f(x＋π2)且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．解析及答案一、选择题1．【解析】函数的最小正周期为π，排除C.又图象关于直线x＝π3对称，则f(π3)＝2或f(π3)＝－2.代入检验知选B.【答案】B2．【解析】y＝tan(π4－x)＝－tan(x－π4)，由x－π4≠π2＋kπ，k∈Z得x≠kπ＋3π4，k∈Z.【答案】D3．【解析】f(x)＝sin3x＋|sin3x|＝2sin3x，sin3x≥0，0，sin3x＜0，周期不变．【答案】A4．【解析】∵f(x)＝sinx＋3cosx＝2sin(x＋π3)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝π6对称，从而f(π3)＝f(0)，又f(x)在[0，π6]上是增函数，∴f(0)＜f(π7)＜f(π6)，即c＜a＜b.【答案】B5．【解析】∵T＝6π，∴ω＝2πT＝2π6π＝13，∴13×π2＋φ＝2kπ＋π2，∴φ＝2kπ＋π3(k∈Z)．∵－π＜φ≤π，∴令k＝0得φ＝π3.∴f(x)＝2sin(x3＋π3)．令2kπ－π2≤x3＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，则6kπ－5π2≤x≤6kπ＋π2，k∈Z.易知f(x)在区间[－2π，0]上是增函数．【答案】A二、填空题6．【解析】由于|α－β|的最小值为π3，∴函数f(x)的周期T＝43π，∴ω＝2πT＝32.【答案】327．【解析】依题意得ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－π6)．由x∈[0，π2]，得2x－π6∈[－π6，56π]，所以sin(2x－π6)∈[－12，1]，所以f(x)∈[－32，3]．【答案】[－32，3]8．【解析】f(x)＝12sin2x，当x1＝0，x2＝π2时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈[－π4，π4]时，2x∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f(3π4)＝12sin32π＝－12，故f(x)的图象关于直线x＝34π对称，故④是真命题．【答案】③④三、解答题9．【解】(1)∵f(x)＝sinxcosx＋sin2x，∴f(π4)＝sinπ4cosπ4＋sin2π4＝(22)2＋(22)2＝1.(2)f(x)＝sinxcosx＋sin2x＝12sin2x＋1－cos2x2＝12(sin2x－cos2x)＋12＝22sin(2x－π4)＋12，由x∈[0，π2]，得2x－π4∈[－π4，3π4]，所以，当2x－π4＝π2，即x＝38π时，f(x)取到最大值为2＋12.10．【解】(1)∵直线x＝π8是函数f(x)图象的一条对称轴，∴2×π8＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，即φ＝π4＋kπ，k∈Z.又－π＜φ＜0，∴φ＝－34π.(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－34π)，令－π2＋2kπ≤2x－34π≤π2＋2kπ，k∈Z，得π8＋kπ≤x≤5π8＋kπ，k∈Z.因此y＝f(x)的单调增区间为[π8＋kπ，58π＋kπ]，k∈Z.11．【解】(1)由x∈[0，π2]，得2x＋π6∈[π6，7π6]．∴sin(2x＋π6)∈[－12，1]，从而b≤f(x)≤3a＋b.又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得f(x)＝－4sin(2x＋π6)－1，∴g(x)＝f(x＋π2)＝－4sin(2x＋7π6)－1＝4sin(2x＋π6)－1，又由lgg(x)＞0得g(x)＞1，∴4sin(2x＋π6)－1＞1，∴sin(2x＋π6)＞12，∴2kπ＋π6＜2x＋π6＜2kπ＋5π6，k∈Z，其中当2kπ＋π6＜2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋π6，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为(kπ，kπ＋π6]，k∈Z.又∵当2kπ＋π2＜2x＋π6＜2kπ＋5π6，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋π6＜x＜kπ＋π3，k∈Z.∴g(x)的单调减区间为(kπ＋π6，kπ＋π3)，k∈Z.