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课后作业(十)对数与对数函数一、选择题1．函数f(x)＝2x－1log3x的定义域为()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0，1)D．(0，1)∪(1，＋∞)2．(2013·汕头质检)下列各式错误的是()A．0.83＞0.73B．log0.50.4＞log0.50.6C．0.75－0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.43．(2013·佛山质检)已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0，a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()A.12B.14C．2D．44．(2013·梅州调研)设函数f(x)＝log2x，x＞0，log12（－x），x＜0，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)5．已知f(x)＝log12(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4]B．(－∞，4)C．(－4，4]D．[－4，4]二、填空题6．lg427－lg823＋lg75＝________．7．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点________．8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值是________．三、解答题9．(2013·北京东城检测)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a＞1时，求使f(x)＞0的x的解集．10．设x∈[2，8]时，函数f(x)＝12loga(ax)·loga(a2x)(a＞0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a的值．11．已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0，1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围．解析及答案一、选择题1．【解析】由x＞0，log3x≠0，得x＞0，x≠1，∴0＜x＜1或x＞1.【答案】D2．【解析】对于A，构造幂函数y＝x3为增函数，故A正确；对于B，D，构造对数函数y＝log0.5x为减函数，y＝lgx为增函数，B，D都正确；对于C，构造指数函数y＝0.75x为减函数，故C错．【答案】C3．【解析】由题意知，a＋a2＋loga2＝loga2＋6，∴即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍)．【答案】C4．【解析】①当a＞0时，－a＜0，由f(a)＞f(－a)得log2a＞log12a，∴2log2a＞0，∴a＞1.②当a＜0时，－a＞0，由f(a)＞f(－a)得，log12(－a)＞log2(－a)，∴2log2(－a)＜0，∴0＜－a＜1，即－1＜a＜0.由①②可知－1＜a＜0或a＞1.【答案】C5．【解析】∵y＝x2－ax＋3a＝(x－a2)2＋3a－a24在[a2，＋∞)上单调递增，故a2≤2⇒a≤4，令g(x)＝x2－ax＋3a，g(x)min＝g(2)＝22－2a＋3a＞0⇒a＞－4，故选C.【答案】C二、填空题6．【解析】原式＝lg4＋12lg2－lg7－23lg8＋lg7＋12lg5＝2lg2＋12(lg2＋lg5)－2lg2＝12.【答案】127．【解析】∵loga1＝0，∴x－1＝1，即x＝2，此时y＝2.因此函数图象恒过定点(2，2)．【答案】(2，2)8．【解析】3x＝t，∴x＝log3t，∴f(t)＝4log23·log3t＋233＝4log2t＋233，∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4(log22＋log24＋log28＋…＋log228)＋8×233＝4·log2(2·22·23…28)＋8×233＝4·log2236＋1864＝4×36＋1864＝2008.【答案】2008三、解答题9．【解】(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，则x＋1＞0，1－x＞0，解得－1＜x＜1.故所求函数f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}．(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)当a＞1时，f(x)在定义域{x|－1＜x＜1}内是增函数，所以f(x)＞0⇔x＋11－x＞1，解得0＜x＜1.所以使f(x)＞0的x的解集是{x|0＜x＜1}．10．【解】由题意知f(x)＝12(logax＋1)(logax＋2)＝12(log2ax＋3logax＋2)＝12(logax＋32)2－18.当f(x)取最小值－18时，logax＝－32，又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1)．∵f(x)是关于logax的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．若12(loga2＋32)2－18＝1，则a＝2－13，此时f(x)取得最小值时，x＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去．若12(loga8＋32)2－18＝1，则a＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝(12)－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a＝12.11．【解】∵a＞0，且a≠1，∴u＝2－ax在[0，1]上是关于x的减函数．又f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上是关于x的减函数，∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0，1]时，u＝2－ax恒为正数．其充要条件是a＞1，2－a＞0，即1＜a＜2.∴a的取值范围是(1，2)．