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[第56讲变量的相关性、统计案例](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[教材改编试题]考察下列各组变量，哪些变量是相关关系()①房屋面积与房屋价格；②粮食产量与施肥量；③铁块的大小与质量；④人体内脂肪含量与年龄．A．①③B．①④C．②④D．②③2．[2013·湛江调研]已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为()A.y^＝1.23x＋4B.y^＝1.23x＋5C.y^＝1.23x＋0.08D.y^＝0.08x＋1.233．[2013·商丘二模]对于回归分析，下列说法错误的是()A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的，也可以是负的C．在回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全相关D．样本相关系数r∈(－1，1)4．[2013·昆明质检]利用独立性检验来判断两个分类变量X和Y是否有关系，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．为了调查用电脑时间与视力下降是否有关系，现从某地网民中抽取100位居民进行调查，经过计算得K2≈3.855，那么就有________%的根据认为用电脑时间与视力下降有关系．P(K2k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828能力提升5．[2013·湖南卷]设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确．．．的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg6．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是()图K56－1A．r2r40r3r1B．r4r20r1r3C．r4r20r3r1D．r2r40r1r37．[2013·南阳一中月考]在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()A．若K2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法都不正确8．[2013·大连检测]工人月工资y(元)与劳动生产率x(千元)变化的回归直线方程为y^＝80x＋50，则下列判断正确的是()①劳动生产率为1千元时，工资约为130元；②劳动生产率每提高1千元时，工资平均提高80元；③劳动生产率每提高1千元时，工资平均提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率约为2千元．A．①③B．②④C．①②④D．①②③④9．[2013·哈尔滨三中联考]下列说法中，不正确．．．的是()A．商品销售收入与商品的广告支出经费之间具有相关关系B．线性回归方程对应的直线y^＝b^x＋a^至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好10．某市居民2013～2013年家庭年平均收入X(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：年份20132013201320132013收入X11.512.11313.315支出Y6.88.89.81012根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是________万元，家庭年平均收入与年平均支出有________(填“正”或“负”)线性相关关系．11．[2013·石家庄质检]经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程：y^＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．12．[2013·南昌一模]对一些城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查后知，y与x具有相关关系，满足回归方程y^＝0.66x＋1.562.若某被调查城市的居民人均消费水平为7.675(千元)，则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________%(保留两个有效数字)．13．某高校教“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到K2＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844，因为k3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．14．(10分)[2013·保定二模]某空调生产部门为了提高工效，需分析该部门的产量x(台)与所用时间y(小时)之间的关系，为此做了4次统计，所得数据如下：生产空调的台数x(台)2345所用的时间y(小时)2.5344.5图K56－2(1)在所给的坐标系中画出表中数据的散点图与回归直线；(2)求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^，并据此预测生产10台空调需要多少时间？参考公式：b^＝错误!，错误!＝y－错误!x15．(13分)[2013·吉林质检]户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性5女性10合计50已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)求该公司男、女员工各多少名；(3)是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．下面的临界值表仅供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d难点突破16．(12分)[2013·福建卷]某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程y^＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－bx；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)课时作业(五十六)【基础热身】1．C[解析]①③都是函数关系，②④是相关关系，故选C.2．C[解析]因回归直线方程必过样本点的中心(x，y)，将点(4，5)代入A，B，C检验可知，故选C.3．D[解析]样本相关系数r∈[－1，1]，所以D错．4．95[解析]由附表可得知当K2≥3.841时，有概率P＝1－P＝0.95，而此时的K2≈3.855＞3.841，则可以得到有95%以上的根据认为用电脑时间与视力下降有关系．【能力提升】5．D[解析]由线性回归方程的特征与性质，得A，B，C均正确，D选项是错误的，线性回归方程只能预测学生的体重．选项D应改为“若该大学某女生身高为170cm，则估计其体重大约为58.79kg”．6．A[解析]由散点图得，图1与图3是正相关，图2与图4是负相关，且图1与图2中的样本点较集中分布在一条直线附近，由相关系数的定义可知，故选A.7．C[解析]根据独立性检验的思想知，某人吸烟，只能说其患肺病的可能性较大，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，但并没有理由认为吸烟者有99%的可能患肺病，故选C.8．C[解析]由回归直线方程为y^＝80x＋50，得劳动生产率为1千元时，工资约为130元，故①正确；当x增加1时，y要增加80元，则劳动生产率每提高1千元时，工资平均提高80元，故②正确，③错误；当月工资为210元时，即80x＋50＝210，解得x＝2，即劳动生产率约为2千元，故④正确．综上知，正确的有①②④，故选C.9．B[解析]根据变量的相关关系的概念知选项A正确；根据残差的概念和相关系数的概念知选项C，D正确；线性回归方程经过样本点中心(x，y)，B错．10．13正[解析]将样本数据按大小顺序排列后奇数个时中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数，由统计资料可以看出，中位数为13万元，且年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者正相关．11．0.245[解析]家庭年收入每增加1万元，即x变为x＋1，则y^＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．12．83[解析]依题意得，当y＝7.675时，有0.66x＋1.562＝7.675，x≈9.262.因此，可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为7.6759.262≈83%.13．5%[解析]∵k3.841，查临界值表，得P(K2≥3.841)＝0.05，故这种判断出错的可能性为5%.14．解：(1)由表中的数据，画出散点图与回归直线如图所示．(2)由表中数据，得错误!错误!＝22＋32＋42＋52＝54，x＝2＋3＋4＋54＝3.5，y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，所以b^＝错误!＝错误!＝0.7，a^＝y－b^x＝3.5－0.7×3.5＝1.05，所以y关于x的回归直线方程为y^＝0.7x＋1.05.将x＝10代入方程，得y^＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测生产10台空调需要8.05小时．15．解：(1)∵在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的概率是35，∴喜欢户外运动的男女员工共30，其中，男员工20人，列联表补充如下：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性20525女性101525合计302050(2)该公司男员工人数为2550×650＝325，则女员工325人．(3)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝50×（20×15－10×5）230×20×25×25≈8.3337.879，∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关．【难点突破】16．解：(1)由于x＝16(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，y＝16(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.所以a＝y－bx＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y^＝－20x＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20x－3342＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．