2014届高三数学一轮复习《离散型随机变量的均值与方差正态分布》理

[第64讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2013·漳州模拟]已知X的分布列为X－101P121316设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.73B．4C．－1D．12．[2013·潍坊模拟]设X为随机变量，X～Bn，13，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于()A.1316B.4243C.13243D.802433．[2013·蚌埠质检]若ξ～N(－2，σ2)，且P(－4ξ－2)＝0.3，则P(ξ0)的值为()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.84．[2013·郑州检测]马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________．能力提升5．[2013·西安远东一中月考]某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．4006．某个数学兴趣小组有女同学3名，男同学2名，现从这个数学兴趣小组中任选3名同学参加数学竞赛，记X为参加数学竞赛的男同学与女同学的人数之差，则X的数学期望为()A．－35B.25C.35D．－257．[2013·临沂二模]某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为()A．200B．300C．400D．6008．[2013·赣州质检]一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A.148B.124C.112D.169．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是()A．7.8B．8C．16D．15.610．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)．设某学生对每道题答对的概率都为23，则该学生在面试时得分的期望值为________分．11．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________．12．[2013·宁波一模]已知某随机变量ξ的概率分布列如下表，其中x0，y0，随机变量ξ的方差Dξ＝12，则x＋y＝________.ξ123Pxyx13.[2013·浙江重点中学协作体摸底]某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元．14．(10分)[2013·武汉武昌区调研]某校从高二年级4个班中选出18名学生参加全国数学联赛，学生来源人数如下表：班别高二(1)班高二(2)班高二(3)班高二(4)班人数4635(1)从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班的概率；(2)若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高二(1)班的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．15．(13分)[2013·北京海淀区二模]某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择．(i)投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的数学期望E(X1)＝12；(ii)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0p1)和1－p.经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示：X(次)012X2(万元)4.1211.7620.40(1)求a，b的值；(2)求X2的分布列；(3)若E(X1)E(X2)，则选择投资B项目，求此时p的取值范围．难点突破16．(12分)[2013·江苏卷]设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望Eξ.课时作业(六十四)【基础热身】1．A[解析]E(X)＝－12＋16＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73，故选A.2．D[解析]∵X～Bn，13，∴E(X)＝n3＝2，即n＝6，∴P(X＝2)＝C26132234＝80243，故选D.3．A[解析]由随机变量ξ～N(－2，σ2)，则其正态密度曲线关于直线x＝－2对称．∵P(－4ξ－2)＝0.3，∴P(－2ξ0)＝P(－4ξ－2)＝0.3，∴P(ξ0)＝12[1－P(－2ξ0)－P(－4ξ－2)]＝0.2，故选A.4．2[解析]设“？”处数值为t，则“！”处的数值为1－2t，所以Eξ＝t＋2(1－2t)＋3t＝2.【能力提升】5．B[解析]记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000，0.1)，所以Eξ＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，则E(X)＝E(2ξ)＝2Eξ＝200，故选B.6．A[解析]X的可能取值为－3，－1，1，P(X＝－3)＝C33C35＝110，P(X＝－1)＝C23C12C35＝610，P(X＝1)＝C13C35＝310，所以E(X)＝(－3)×110＋(－1)×610＋1×310＝－35，故选A.7．A[解析]由数学考试成绩ξ～N(90，a2)，则其正态曲线关于直线x＝90对称．又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，∴由对称性知，成绩在110分以上的人数约为总人数的121－35＝15，∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有1000×15＝200(人)，故选A.8．D[解析]设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为X320PabcE(X)＝3a＋2b＝2≥23a×2b，所以ab≤16，当且仅当3a＝2b时，等号成立，故选D.9．A[解析]X的取值为6，9，12，相应的概率P(X＝6)＝C38C310＝715，P(X＝9)＝C28C12C310＝715，P(X＝12)＝C18C22C310＝115，E(X)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.10．15[解析]设面试时得分为随机变量ξ，由题意，ξ的取值可以是－15，0，15，30，则P(ξ＝－15)＝1－233＝127，P(ξ＝0)＝C131－232·23＝29，P(ξ＝15)＝C231－23·232＝49，P(ξ＝30)＝233＝827，∴Eξ＝－15×127＋0×29＋15×49＋30×827＝15.11．2[解析]每次取球时，红球被取出的概率为12，8次取球看作8次独立重复试验，红球出现的次数X～B12，8，故D(X)＝8×12×12＝2.12.34[解析]由分布列性质，得2x＋y＝1，Eξ＝4x＋2y＝2.又Dξ＝12，即Dξ＝(－1)2x＋12·x＝12，解得x＝14，∴y＝1－12＝12，故x＋y＝34.13．(0.1＋p)a[解析]设要求投保人交x元，公司的收益额ξ作为随机变量，则P(ξ＝x)＝1－p，P(ξ＝x－a)＝p，∴Eξ＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，即x－ap＝0.1a，解得x＝(0.1＋p)a.14．解：(1)“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A，则P(A)＝C24＋C26＋C23＋C25C218＝29.(2)X的所有可能取值为0，1，2.∵P(X＝0)＝C214C218＝91153，P(X＝1)＝C14C114C218＝56153，P(X＝2)＝C24C218＝6153，∴X的分布列为X012P91153561536153∴E(X)＝0×91153＋1×56153＋2×6153＝49.15．解：(1)由题意得：a＋0.4＋b＝1，11a＋12×0.4＋17b＝12，解得a＝0.5，b＝0.1，(2)X2的可能取值为4.12，11.76，20.40.P(X2＝4.12)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，P(X2＝11.76)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(X2＝20.40)＝p(1－p)．所以X2的分布列为X24.1211.7620.40Pp(1－p)p2＋(1－p)2p(1－p)(3)由(2)可得：E(X2)＝4.12p(1－p)＋11.76[p2＋(1－p)2]＋20.40p(1－p)＝－p2＋p＋11.76.因为E(X1)E(X2)，所以12－p2＋p＋11.76，解得0.4p0.6.当选择投资B项目时，p的取值范围是(0.4，0.6)．【难点突破】16．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C23对相交棱，因此P(ξ＝0)＝8C23C212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P(ξ＝2)＝6C212＝111，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是ξ012Pξ411611111因此Eξ＝1×611＋2×111＝6＋211.