2014届高三数学二轮专题复习专题综合检测二(Word有详解答案)

专题综合检测二时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－45，则m等于()A．－114B.114C．－4D．4[答案]C[解析]由题意可知，cosα＝mm2＋9＝－45，又m0，解得m＝－4，故选C.(理)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(x,2)是角θ终边上一点，且cosθ＝31313，则x的值为()A．±3B．－3C．3D．±13[答案]C[解析]P到原点的距离|PO|＝x2＋4，由三角函数的定义及题设条件得，xx2＋4＝31313，x0，解之得x＝3.2．(2013·海淀区期中)若向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则a·b的值为()A．－12B.12C．－1D．1[答案]A[解析]∵|a|＝|b|＝|a＋b|，∴〈a，b〉＝120°，∴a·b＝1×1×cos120°＝－12.3．(2013·榆林一中模拟)下列函数中，周期为π，且在区间[π4，3π4]上单调递增的函数是()A．y＝sin2xB．y＝cos2xC．y＝－sin2xD．y＝－cos2x[答案]C4．(文)(2012·邯郸市模拟)要得到函数y＝cos(x2－π4)的图象，只需将函数y＝sinx2的图象()A．向左平移π2个单位长度B．向右平移π2个单位长度C．向左平移π4个单位长度D．向右平移π4个单位长度[答案]A[解析]∵y＝sinx2＝cos(π2－x2)＝cos(x2－π2)＝cos[12(x－π2)－π4]向左平移π2个单位长度，即得y＝cos(x2－π4)的图象．(理)(2013·天津六校联考)若把函数y＝sinωx的图象向左平移π3个单位，则与函数y＝cosωx的图象重合，则ω的值可能是()A.13B.32C.23D.12[答案]B[答案]由条件知，T4＝π3，∴T＝4π3，[来源:Zxxk.Com]又T＝2πω，∴ω＝32.5．(文)(2013·德阳市二诊)若cosθ＋sinθ＝－53，则cos(π2－2θ)的值为()A.49B.29C．－29D．－49[答案]D[解析]将cosθ＋sinθ＝－53两边平方得，sin2θ＝－49，∴cos(π2－2θ)＝sin2θ＝－49.(理)(2013·苍南求知中学月考)函数y＝cos2(2x－π3)的图象向左平移π6个单位，所得的图象对应的函数是()A．值域为[0,2]的奇函数B．值域为[0,1]的奇函数C．值域为[0,2]的偶函数D．值域为[0,1]的偶函数[答案]D[解析]y＝cos2(2x－π3)＝1＋cos4x－2π32，左移π6个单位后为y＝12＋12cos4x为偶函数，值域为[0,1]，故选D.6．(2013·常德市模拟)在△ABC中，若AB→·(AB→－2AC→)＝0，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[答案]B[解析]∵AB→·(AB→－2AC→)＝AB→·(CB→－AC→)＝AB→·(CA→＋CB→)＝0，∴(CB→－CA→)·(CB→＋CA→)＝0，∴|CB→|2＝|CA→|2，∴|CA→|＝|CB→|，故选B.7．(2013·重庆一中月考)已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan2α的值为()A.45B.34C.43D.23[答案]C[解析]∵tanα＝12，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝43.8．(文)(2013·保定市一模)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω0，|φ|π2)的部分图象如右图所示，则函数f(x)的表达式为()A．f(x)＝sin(2x＋π4)B．f(x)＝sin(2x－π4)C．f(x)＝sin(4x＋3π4)D．f(x)＝sin(4x－π4)[答案]A[解析]周期T＝4(3π8－π8)＝π，故ω＝2，又点(π8，1)在图象上，代入可得φ＝π4，故选A.(理)函数y＝tan(π4x－π2)(0x4)的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(OB→＋OC→)·OA→等于()A．－8B．－4C．4D．8[答案]D[解析]A点坐标为(2,0)，即OA→＝(2,0)，由y＝tan(π4x－π2)的图象的对称性知A是BC的中点．∴OB→＋OC→＝2OA→，∴(OB→＋OC→)·OA→＝2OA→·OA→＝2×|OA→|2＝8.故选D.9．(2013·新课标Ⅰ文，10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5[答案]D[解析]本题考查了倍角公式、余弦定理．由倍角公式得23cos2A＋cos2A＝25cos2A－1＝0，cos2A＝125，△ABC为锐角三角形cosA＝15，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－125b－13＝0，即5b2－12b－65＝0，解方程得b＝5.10．(文)已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则AP→·(AB→＋AC→)()[来源:学.科.网Z.X.X.K]A．最大值为8B．是定值6C．最小值为2D．与P的位置有关[答案]B[解析]如图，∵AB→＋AC→＝AD→＝2AO→，△ABC为正三角形，∴四边形ABDC为菱形，BC⊥AO，∴AP→在向量AD→上的投影为AO→，又|AO→|＝3，∴AP→·(AB→＋AC→)＝|AO→|·|AD→|＝6，故选B.(理)(2013·榆林一中模拟)如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足AMMC＝MPPB＝2，若|AB→|＝2，|AC→|＝3，∠BAC＝120°，则AP→·BC→的值为()A．－2B．2C.23D．－113[答案]A[解析]由条件知AM→＝23AC→，BP→＝13BM→，AB→·AC→＝2×3cos120°＝－3，∴AP→·BC→＝(AB→＋BP→)·BC→＝(AB→＋13BM→)·BC→＝(AB→＋13AM→－13AB→)·BC→＝(23AB→＋13·23AC→)·BC→＝(23AB→＋29AC→)·(AC→－AB→)＝49AB→·AC→－23|AB→|2＋29|AC→|2＝－2.11．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于()A.π12B.π6C.π4D.π3[答案]D[解析]由asinA＝bsinB，得sinA＝32，∵△ABC为锐角三角形．∴A＝π3.12．(文)设F1、F2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆上，当△F1PF2的面积为1时，PF1→·PF2→的值为()A．0B．1C.12D．2[答案]A[解析]设P(x，y)，F1(－3，0)，F2(3，0)，则PF1→·PF2→＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2＋y2－3.∵△F1PF2的面积S＝12|F1F2→||y|＝12·23·|y|＝3|y|＝1，∴y2＝13.由于点P在椭圆上，∴x24＋y2＝1.∴x2＝83.∴PF1→·PF2→＝x2＋y2－3＝83＋13－3＝0.故选A.(理)(2013·内江市模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F(c,0)是右焦点，经过坐标原点O的直线l与椭圆交于点A、B，且FA→·FB→＝0，|OA→－OB→|＝2|OA→－OF→|，则该椭圆的离心率为()A.22B.32C.2－1D.3－1[答案]D[解析]∵|OA→－OB→|＝|AB→|，|OA→－OF→|＝|AF→|，且|OA→－OB→|＝2|OA→－OF→|，∴AB＝2AF，∵FA→·FB→＝0，∴FA⊥FB，∴OF＝OA＝AF，∴A(c2，－32c)在椭圆上，∴c24a2＋3c24b2＝1，∴c24a2＋3c24a2－4c2＝1，∴14e2＋34e2－4＝1，∵0e1，∴e＝3－1.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．)13．(2013·北京西城一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且cosAcosB＝ba＝34.若c＝10，则△ABC的面积是________．[答案]24[解析]由cosAcosB＝ba得acosA＝bcosB，由正弦定理得sin2A＝sin2B，由cosAcosB＝34知A≠B，∴2A＝π－2B，∴A＋B＝π2，∴C＝π2，又ba＝34，c＝10，∴b＝6，a＝8，S＝12ab＝24.14．(文)(2013·北京东城区模拟)函数f(x)＝sin(x－π3)的图象为C，有如下结论：①图象C关于直线x＝5π6对称；②图象C关于点(4π3，0)对称；③函数f(x)在区间[π3，5π6]内是增函数．其中正确的结论序号是________．(写出所有正确结论的序号)[答案]①②③(理)(2013·江西八校联考)已知函数f(x)＝cosxsinx，给出下列四个结论：①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间[－π4，π4]上是增函数；④f(x)的图象关于直线x＝3π4对称．其中正确的结论是________．[答案]③④[解析]f(x)＝12sin2x最小正周期T＝π，对称轴x＝kπ2＋π4，k∈Z，令k＝1得x＝3π4；由2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2得，kπ－π4≤x≤kπ＋π4，取k＝0知，f(x)在区间[－π4，π4]上为增函数，f(x)为奇函数，当x1＝－x2时，有f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，但f(x1)＝－f(x2)时，由周期性知不一定有x1＝－x2，故正确选项为③④.15．(2013·重庆一中月考)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)等于________．[答案]－49[解析]AM＝1，AP→＝2PM→，∴|PA→|＝23，|PM→|＝13，∴PA→·(PB→＋PC→)＝PA→·(2PM→)＝－2×23×13＝－49.16．(文)关于平面向量a、b、c，有下列四个命题：①若a∥b，a≠0，则∃λ∈R，使b＝λa；②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；③存在不全为零的实数λ，μ，使得c＝λa＋μb；④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)．其中正确的命题序号是________．[答案]①④[解析]逐个判断．由向量共线定理知①正确；若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③错误；若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，所以④正确．故正确命题序号是①④.(理)(2012·浙江宁波模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A、B、C成等差数列，且b＝1，则△ABC面积的最大值为________．[答案]34[解析]本题考查解三角形的相关知识．由题意得B＝π3，根据余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，∴a2＋c2－1＝ac⇒a2＋c2＝1＋ac≥2ac，∴ac≤1.S＝12acsinB＝34ac≤34.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)[来源:学,科,网Z,X,X,K]17．(本小题满分12分)(文)(2013·天津六校联考)△ABC中，已知A＝45°，cosB＝45.(1)求sinC的值；(2)若BC＝10，D为AB的中点，求AB、CD的长．[解析](1)∵三角形中，cosB＝45，所以B为锐角，∴sinB＝35所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝7210.(2)三角形ABC中，由正弦定理得ABsinC＝BCsinA，∴AB＝14，又D为AB中点，所以BD＝7，在三角形BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB＝37，∴CD