2014届高三数学大一轮复习4.3三角函数的图象与性质教案理新人教A版

1§4.3三角函数的图象与性质2014高考会这样考1.考查三角函数的图象：五点法作简图、图象变换、图象的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想．复习备考要这样做1.会作三角函数的图象，通过图象研究三角函数性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论图象、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用．1．“五点法”作图原理在确定正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、π2，1、(π，0)、32π，－1、(2π，0)．余弦函数呢？2．三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(kπ＋π2，0)(k∈Z)对称中心：kπ2，0(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2kπ－单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调增区间(kπ－2π2，2kπ＋π2](k∈Z)；单调减区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)π2，kπ＋π2)(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数[难点正本疑点清源]1．函数的周期性若f(ωx＋φ＋T)＝f(ωx＋φ)(ω0)，常数T不能说是函数f(ωx＋φ)的周期．因为f(ωx＋φ＋T)＝fωx＋Tω＋φ，即自变量由x增加到x＋Tω，Tω是函数的周期．2．求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．1．设点P是函数f(x)＝sinωx(ω≠0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是π4，则f(x)的最小正周期是________．答案π解析由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14，故f(x)的最小正周期为T＝4×π4＝π.2．函数y＝2－3cosx＋π4的最大值为______，此时x＝______________.答案534π＋2kπ，k∈Z解析当cosx＋π4＝－1时，函数y＝2－3cosx＋π4取得最大值5，此时x＋π4＝π＋2kπ(k∈Z)，从而x＝34π＋2kπ，k∈Z.33．(2012·福建)函数f(x)＝sinx－π4的图象的一条对称轴是()A．x＝π4B．x＝π2C．x＝－π4D．x＝－π2答案C解析方法一∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝kπ＋3π4，k∈Z.取k＝－1，则x＝－π4.方法二用验证法．x＝π4时，y＝sinπ4－π4＝0，不合题意，排除A；x＝π2时，y＝sinπ2－π4＝22，不合题意，排除B；x＝－π4时，y＝sin－π4－π4＝－1，符合题意，C项正确；x＝－π2时，y＝sin－π2－π4＝－22，不合题意，故D项也不正确．4．函数y＝tanπ4－x的定义域为()A．{x|x≠kπ－π4，k∈Z}B．{x|x≠2kπ－π4，k∈Z}C．{x|x≠kπ＋π4，k∈Z}D．{x|x≠2kπ＋π4，k∈Z}答案A解析令π4－x≠kπ＋π2，k∈Z，∴x≠kπ－π4，k∈Z.5．给出下列四个命题，其中不正确的命题为()①若cosα＝cosβ，则α－β＝2kπ，k∈Z；②函数y＝2cos2x＋π3的图象关于x＝π12对称；③函数y＝cos(sinx)(x∈R)为偶函数；④函数y＝sin|x|是周期函数，且周期为2π.A．①②B．①④4C．①②③D．①②④答案D解析命题①：若α＝－β，则cosα＝cosβ，假命题；命题②：x＝π12，cos2x＋π3＝cosπ2＝0，故x＝π12不是y＝2cos2x＋π3的对称轴；命题④：函数y＝sin|x|不是周期函数．题型一三角函数的定义域、值域问题例1(1)求函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域；(2)求函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值与最小值．思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数．解(1)由sin2x09－x2≥0，得2kπ2x2kπ＋π，k∈Z，－3≤x≤3.∴－3≤x－π2或0xπ2.∴函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域为{x|－3≤x－π2或0xπ2}．(2)令t＝sinx，∵|x|≤π4，∴t∈－22，22.∴y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，∴当t＝12时，ymax＝54，t＝－22时，ymin＝1－22.∴函数y＝cos2x＋sinx(|x|≤π4)的最大值为54，最小值为1－22.探究提高(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：5①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(1)求函数y＝sinx－cosx的定义域；(2)已知函数f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4·sinx＋π4，求函数f(x)在区间－π12，π2上的最大值与最小值．解(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]内y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z}．(2)由题意得：f(x)＝12cos2x＋32sin2x＋(sinx－cosx)·(sinx＋cosx)＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－cos2x＝12cos2x＋32sin2x－cos2x＝sin2x－π6.又x∈－π12，π2，∴2x－π6∈－π3，5π6，∴sin2x－π6∈－32，1.故当x＝π3时，f(x)取最大值1；当x＝－π12时，f(x)取最小值－32.题型二三角函数的单调性与周期性例2写出下列函数的单调区间及周期：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|.6思维启迪：(1)化为y＝－sin2x－π3，再求单调区间及周期．(2)由y＝tanx的图象→y＝|tanx|的图象→求单调性及周期．解(1)y＝－sin2x－π3，它的增区间是y＝sin2x－π3的减区间，它的减区间是y＝sin2x－π3的增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12，k∈Z.故所给函数的减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z；增区间为kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈Z.最小正周期T＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y＝|tanx|的增区间是kπ，kπ＋π2，k∈Z，减区间是kπ－π2，kπ，k∈Z.最小正周期T＝π.探究提高(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则：①把“ωx＋φ(ω0)”视为一个“整体”；②A0(A0)时，所列不等式的方向与y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．(2)对于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)，其周期T＝π|ω|，单调区间利用ωx＋φ∈kπ－π2，kπ＋π2，解出x的取值范围，即为其单调区间．对于复合函数y＝f(v)，v＝φ(x)，其单调性的判定方法：若y＝f(v)和v＝φ(x)同为增(减)函数时，y＝f(φ(x))为增函数；若y＝f(v)和v＝φ(x)一增一减时，y＝f(φ(x))为减函数．7(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．求函数y＝sinπ3＋4x＋cos4x－π6的周期、单调区间及最大、最小值．解∵π3＋4x＋π6－4x＝π2，∴cos4x－π6＝cosπ6－4x＝cosπ2－π3＋4x＝sinπ3＋4x.∴y＝2sin4x＋π3，周期T＝2π4＝π2.当－π2＋2kπ≤4x＋π3≤π2＋2kπ(k∈Z)时，函数单调递增，∴函数的递增区间为－5π24＋kπ2，π24＋kπ2(k∈Z)．当π2＋2kπ≤4x＋π3≤3π2＋2kπ(k∈Z)时，函数单调递减，∴函数的递减区间为π24＋kπ2，7π24＋kπ2(k∈Z)．当x＝π24＋kπ2(k∈Z)时，ymax＝2；当x＝－5π24＋kπ2(k∈Z)时，ymin＝－2.8题型三三角函数的对称性与奇偶性例3(1)已知f(x)＝sinx＋3cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)|φ|≤π2的图象关于直线x＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案(1)π6(2)A解析(1)f(x)＝2sinx＋π3，y＝f(x＋φ)＝2sinx＋π3＋φ图象关于x＝0对称，即f(x＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，φ＝kπ＋π6，k∈Z，又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos2×4π3＋φ＝3cos2π3＋φ＋2π＝3cos2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ－π6，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A.探究提高若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．(1)定义运算abcd＝ad－bc，则函数f(x)＝33sinx1cosx的图象的一条对称轴方程是()9A．x＝5π6B．x＝2π3C．x＝π3D．x＝π6(2)若函数f(x)＝asinωx＋bcosωx(0ω5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x＝π4ω，函数f′(x)的图象的一个对称中心是π8，0，则f(x)的最小正周期是________．答案(1)A(2)π解析(1)f(x)＝33sinx1cosx＝3cosx－3sinx＝23cosx＋π6.所以当x＝5π6时，f(x)＝23cos5π6＋π6