2014届高三数学大一轮复习9.1直线的方程教案理新人教A版

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1§9.1直线的方程2014高考会这样考1.考查直线的有关概念,如直线的倾斜角、斜率、截距等;考查过两点的斜率公式;2.求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等);3.在直线与圆锥曲线的关系问题中考查直线.复习备考要这样做1.理解数形结合的思想,掌握直线方程的几种形式,会根据已知条件求直线方程;2.会根据直线的特征量画直线,研究直线性质.1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为[0°,180°).(2)直线的斜率①定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan_α,倾斜角是90°的直线斜率不存在.②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=y2-y1x2-x1.2.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y-y0=k(x-x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y=kx+b不含垂直于x轴的直线2两点式y-y1y2-y1=x-x1x2-x1不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)截距式xa+yb=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用3.过P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程(1)若x1=x2,且y1≠y2时,直线垂直于x轴,方程为x=x1;(2)若x1≠x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程为y=y1;(3)若x1=x2=0,且y1≠y2时,直线即为y轴,方程为x=0;(4)若x1≠x2,且y1=y2=0时,直线即为x轴,方程为y=0.4.线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则x=x1+x22y=y1+y22,此公式为线段P1P2的中点坐标公式.[难点正本疑点清源](1)直线的倾斜角与斜率的关系斜率k是一个实数,当倾斜角α≠90°时,k=tanα.直线都有倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率,倾斜角为90°的直线无斜率.(2)①求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应对斜率存在与不存在加以讨论.②在用截距式时,应先判断截距是否为0,若不确定,则需分类讨论.1.若直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角为___________.答案45°或135°解析由|k|=|tanα|=1,知:k=tanα=1或k=tanα=-1.又倾斜角α∈[0°,180°),∴α=45°或135°.2.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为__________.答案4解析由a-35-4=5-36-4=1,得a=4.3.过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.答案x+y+1=0或4x+3y=03解析①若直线过原点,则k=-43,∴y=-43x,即4x+3y=0.②若直线不过原点.设xa+ya=1,即x+y=a.∴a=3+(-4)=-1,∴x+y+1=0.4.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点.则直线l的倾斜角的取值范围为____________.答案0,π4∪π2,π解析直线l的斜率k=m2-11-2=1-m2≤1.若l的倾斜角为α,则tanα≤1.又∵α∈[0,π),∴α∈0,π4∪π2,π.5.如果A·C0,且B·C0,那么直线Ax+By+C=0不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C解析由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距-CA0,在y轴上的截距-CB0,故直线经过一、二、四象限,不经过第三象限.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为()A.13B.-13C.-32D.23(2)直线xcosα+3y+2=0的倾斜角的范围是()A.π6,π2∪π2,5π6B.0,π6∪5π6,π4C.0,5π6D.π6,5π6思维启迪:斜率公式和倾斜角的定义是解决这类问题的基础,范围可结合图形考虑.答案(1)B(2)B解析(1)依题意,设点P(a,1),Q(7,b),则有a+7=2b+1=-2,解得a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为-3-17+5=-13.(2)由xcosα+3y+2=0得直线斜率k=-33cosα.∵-1≤cosα≤1,∴-33≤k≤33.设直线的倾斜角为θ,则-33≤tanθ≤33.结合正切函数在0,π2∪π2,π上的图象可知,0≤θ≤π6或5π6≤θπ.探究提高直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分0,π2与π2,π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈0,π2时,斜率k∈[0,+∞);当α=π2时,斜率不存在;当α∈π2,π时,斜率k∈(-∞,0).已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,求实数m的取值范围.解如图所示,直线l:x+my+m=0过定点A(0,-1),当m≠0时,kQA=32,kPA=-2,kl=-1m.∴-1m≤-2或-1m≥32,解得0m≤12或-23≤m0;当m=0时,直线l的方程为x=0,与线段PQ有交点,5所以,实数m的取值范围为-23≤m≤12.题型二求直线的方程例2求适合下列条件的直线方程:(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;(2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-14;(3)过点A(1,-1)与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点且|AB|=5.思维启迪:选择适当的直线方程形式,把所需要的条件求出即可.解(1)方法一设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),∴l的方程为y=23x,即2x-3y=0.若a≠0,则设l的方程为xa+ya=1,∵l过点(3,2),∴3a+2a=1,∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0,综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二由题意,所求直线的斜率k存在且k≠0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0,得x=3-2k,令x=0,得y=2-3k,由已知3-2k=2-3k,解得k=-1或k=23,∴直线l的方程为y-2=-(x-3)或y-2=23(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.(2)设所求直线的斜率为k,依题意k=-14×3=-34.又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-34(x+1),即3x+4y+15=0.(3)过点A(1,-1)与y轴平行的直线为x=1.6解方程组x=12x+y-6=0,求得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5,即x=1为所求.设过A(1,-1)且与y轴不平行的直线为y+1=k(x-1),解方程组2x+y-6=0y+1=kx-,得两直线交点为x=k+7k+2y=4k-2k+2.(k≠-2,否则与已知直线平行).则B点坐标为k+7k+2,4k-2k+2.由已知k+7k+2-12+4k-2k+2+12=52,解得k=-34,∴y+1=-34(x-1),即3x+4y+1=0.综上可知,所求直线的方程为x=1或3x+4y+1=0.探究提高在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.△ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:(1)BC所在直线的方程;(2)BC边上中线AD所在直线的方程;(3)BC边的垂直平分线DE的方程.解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得BC的方程为y-13-1=x-2-2-2,即x+2y-4=0.(2)设BC中点D的坐标为(x,y),则x=2-22=0,y=1+32=2.7BC边的中线AD过A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得AD所在直线方程为x-3+y2=1,即2x-3y+6=0.(3)BC的斜率k1=-12,则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2,由点斜式得直线DE的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.题型三直线方程的综合应用例3已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.思维启迪:抓住直线过定点这个特征,找直线不经过第四象限的条件,表示△AOB的面积,然后求最值.(1)证明直线l的方程是:k(x+2)+(1-y)=0,令x+2=01-y=0,解得x=-2y=1,∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).(2)解由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-1+2kk,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有-1+2kk≤-21+2k≥1,解之得k0;当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k≥0.(3)解由l的方程,得A-1+2kk,0,B(0,1+2k).依题意得-1+2kk0,1+2k0,解得k0.∵S=12·|OA|·|OB|=12·1+2kk·|1+2k|8=12·+2k2k=124k+1k+4≥12×(2×2+4)=4,“=”成立的条件是k0且4k=1k,即k=12,∴Smin=4,此时l的方程为:x-2y+4=0.探究提高利用直线方程解决问题,要灵活选用直线方程的形式:一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距选择截距式.9已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.解方法一设直线方程为xa+yb=1(a0,b0),点P(3,2)代入得3a+2b=1≥26ab,得ab≥24,从而S△AOB=12ab≥12,当且仅当3a=2b时等号成立,这时k=-ba=-23,从而所求直线方程为2x+3y-12=0.方法二依题意知,直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0),且有A3-2k,0,B(0,2-3k),∴S△ABO=12(2-3k)3-2k=1212+-9k+4-k≥1212+2-9k4-k=12×(12+12)=12.当且仅当-9k=4-k时,即k=-23时,等号成立.即△ABO面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x+3y-12=0.分类讨论思想在求直线方程中的应用典例:(12分)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD,AB=2,BC=1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合.将矩形折叠,使A点落在线段DC上.若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程.审题视角(1)题目已告诉直线斜率为k,即斜率存在.(2)从题意上看,斜率k可以为0,也可以不为0,所以要分类讨论.规范解答10解(1)当k=0时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程为y=12.[2分](2)当k≠0时,将矩形折叠后A点落在线

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