2014届高三数学大一轮复习9.2两条直线的位置关系教案理新人教A版

1§9.2两条直线的位置关系2014高考会这样考1.考查两条直线的平行、垂直关系；2.考查两点间的距离公式及点到直线的距离公式的应用．复习备考要这样做1.对于两条直线的位置关系问题，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系；2.熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．2．两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．三种距离公式(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：|AB|＝x2－x12＋y2－y12.(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝|C2－C1|A2＋B2.2[难点正本疑点清源]1．两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提的，就是两条直线都有斜率．当直线无斜率时，要单独考虑．2．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.1．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________．答案－4解析因为两直线的交点在y轴上，所以点0，43在第一条直线上，所以C＝－4.2．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.答案1解析∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，∴12×－2m＝－1，∴m＝1.3．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为________________．答案x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0解析设l1的方程为x＋y＋c＝0，则|c＋1|2＝2.∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3.4．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0答案A解析∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线的斜率为k＝12，排除C、D.又直线过点(1,0)，排除B，故选A.5．若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为12的直线垂直，则a的值为()A.52B.25C．10D．－10答案D3解析∵a－03－－＝－2，∴a＝－10.题型一两条直线的平行与垂直例1已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值．思维启迪：运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意斜率为0或斜率不存在的情形．解(1)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，l1∥l2⇔－a2＝11－a，－3≠－a＋，解得a＝－1，综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2⇔aa－－1×2＝0，aa2－－1×6≠0，⇔a2－a－2＝0，aa2－，⇒a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，4由－a2·11－a＝－1⇒a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0⇒a＝23.探究提高(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m、n的值，使：(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.解(1)由题意得m2－8＋n＝02m－m－1＝0，解得m＝1，n＝7.(2)当m＝0时，显然l1不平行于l2；当m≠0时，由m2＝8m≠n－1，得m·m－8×2＝0，－－n·m≠0，∴m＝4，n≠－2，或m＝－4，n≠2.即m＝4，n≠－2时或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.又－n8＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.题型二两条直线的交点问题例2求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．思维启迪：可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．解方法一先解方程组3x＋2y－1＝05x＋2y＋1＝0，得l1、l2的交点坐标为(－1,2)，再由l3的斜率35求出l的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－53(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.5方法二由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0.方法三由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.探究提高运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过A(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.题型三距离公式的应用例3已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0.且l1与l2的距离是7510.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的12；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．思维启迪：(1)由l1与l2的距离构建方程求a；(2)假设存在点P，并设出其坐标，根据6条件建立方程求解并作出判断．解(1)∵l1：4x－2y＋2a＝0(a0)，l2：4x－2y－1＝0，∴两条平行线l1与l2间的距离为d＝|2a＋1|25，由已知，可得|2a＋1|25＝7510.又a0，可解得a＝3.(2)设点P的坐标为(x，y)，由条件①，可知x0，y0.由条件②和③，可得|2x－y＋3|5＝|4x－2y－1|45，5·|2x－y＋3|5＝2·|x＋y－1|2，化简得4|2x－y＋3|＝|4x－2y－1|，|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，于是可得，4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|，也就是4(x＋y－1)＝4x－2y－1，或4(x＋y－1)＝－4x＋2y＋1，解得y＝12，或8x＋2y－5＝0.当y＝12时，代入方程|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，解得x＝－30或x＝－230，均舍去．由8x＋2y－5＝0|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，化简得8x＋2y－5＝0x－2y＋4＝0，或8x＋2y－5＝03x＝－2，解得x＝19y＝3718或x＝－230y＝316(舍去)．即存在满足题设条件的点P，其坐标为19，3718.探究提高(1)在应用两条直线间的距离公式时．要注意两直线方程中x、y的系数必须相同．(2)第(2)问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略．7已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.解设点P的坐标为(a，b)，∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)，∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.∵点P(a，b)在上述直线上，∴a－b－5＝0.①又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，∴|4a＋3b－2|5＝2，即4a＋3b－2＝±10，②联立①②可得a＝1b＝－4或a＝277b＝－87.∴所求点P的坐标为(1，－4)或277，－87.对称变换思想的应用典例：(12分)光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．审题视角(1)入射光线所在直线与反射光线所在直线关于l对称．(2)对称点的连线被对称轴垂直平分．规范解答解方法一由x－2y＋5＝0，3x－2y＋7＝0，得x＝－1，y＝2.∴反射点M的坐标为(－1,2)．[2分]又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－23＝y0x0＋5.[4分]而PP′的中点Q的坐标为x0－52，y02，8Q点在l上，∴3·x0－52－2·y02＋7＝0.[6分]由y0x0＋5＝－23，32x0－－y0＋7＝0.得x0＝－1713，y0＝－3213.[8分]根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.[12分]方法二设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则y0－yx0－x＝－23，[4分]又PP′的中点Qx＋x02，y＋y02在l上，∴3×x＋x02－2×y＋y02＋7＝0，[6分]由y0－yx0－x＝－23，3×x＋x02－y＋y0＋7＝0.可得P点的坐标为x0＝－5x＋12y－4213，y0＝12x＋5y＋2813，[10分]代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，∴所求反射光线