2014届高考数学(理)一轮复习专题集训数列的综合问题

数列的综合问题(时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2013·辽宁三校联考]“λ1”是“数列an＝n2－2λn(n∈N*)为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．对于数列{an}，a1＝4，an＋1＝f(an)，n＝1，2，…，则a2012等于()x12345f(x)54312A.2B．3C．4D．53．[2013·威海一模]已知函数f(x)＝x2＋2bx过点(1，2)，若数列1f（n）的前n项和为Sn，则S2012的值为()A.20122011B.20102011C.20132012D.201220134．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．能力提升5．[2013·湖南六校联考]已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3＞0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值()A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可正可负6．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝32＋f(x)，x∈R，且f(1)＝52，则数列{f(n)}(n∈N*)的前20项的和为()A．305B．315C．325D．3357．已知向量a＝(an，2)，b＝an＋1，25，且a1＝1，若数列{an}的前n项和为Sn，且a∥b，则Sn＝()A.541－15nB.141－15nC.141－15n－1D.541－15n－18．[2013·开封模拟]已知数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn1025的最小n值是()A．9B．10C．11D．129．[2013·信阳二调]等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a2－1)3＋2011(a2－1)＝sin2011π3，(a2010－1)3＋2011(a2010－1)＝cos2011π6，则S2011等于()A．0B．2011C．4022D．2011310．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读的字数为________．11．[2013·南通一模]各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d(d0)的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4－a1＝88，则q的所有可能的值构成的集合为________．12．[2013·泉州质检]同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和．如：已知数列{an}的通项为an＝1n（n＋1），则将其通项化为an＝1n－1n＋1，故数列{an}的前n项和Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，在斐波那契数列{an}中，a1＝1，a2＝1，an＋an＋1＝an＋2(n∈N*)，若a2013＝a，那么数列{an}的前2011项的和是________．13．已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，满足f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，则x2013的值等于________．14．(10分)已知等差数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，满足2S2＝a2(a2＋1)，且a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2Sn＋13n，求数列{bn}的最小值项．15．(13分)[2013·厦门质检]某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币)．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)，游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案．(1)设闯过n(n∈N*，且n≤12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为An，Bn，Cn，试求出An，Bn，Cn的表达式；(2)如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？难点突破16．(12分)[2013·湘潭三模]国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2013届毕业生凌霄在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．该同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．(1)若该同学恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款，求x的值；(2)当x＝50时，该同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？(参考数据：1.0518＝2.406，1.0519＝2.526，1.0520＝2.653，1.0521＝2.786)【基础热身】1．A[解析]若λ1，则an＋1－an＝(n＋1)2－2λ(n＋1)－(n2－2λn)＝2(n－λ)＋1，由n∈N*，即n≥1，得an＋1－an＞0，即数列{an}为递增数列；若数列{an}为递增数列，则an＋1－an＞0，即2(n－λ)＋1＞0，解得λ2n＋12，由n∈N*，即n≥1，得λ32，则λ1不一定成立，故选A.2．A[解析]由已知a1＝4，a2＝f(a1)＝1，a3＝f(a2)＝5，a4＝f(a3)＝2，a5＝f(2)＝4，…即数列{an}是周期为4的数列，而2012＝503×4，则a2012＝a4＝2，故选A.3．D[解析]由函数f(x)＝x2＋2bx过(1，2)点，得b＝12，∴1f（n）＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，S2012＝1f（1）＋1f（2）＋…＋1f（2012）＝1－12＋12－13＋…＋12012－12013＝20122013，故选D.4.6766[解析]设该等差数列为{an}，公差为d，则有a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4，解得a1＝3966，d＝766，所以a5＝a1＋4d＝3966＋4×766＝6766.【能力提升】5．A[解析]f(0)＝0，a3＞0，f(a3)＞f(0)＝0，又a1＋a5＝2a3＞0，∴a1＞－a5，∴f(a1)＞f(－a5)＝－f(a5)，∴f(a1)＋f(a5)＞0，故选A.6．D[解析]由已知f(x＋1)－f(x)＝32，则数列{f(n)}是等差数列，公差为32，其前20项和为20×52＋20×192×32＝335，故选D.7．A[解析]由向量a∥b，得25an＝2an＋1，即an＋1an＝15，数列{an}是公比为15的等比数列，则Sn＝1－15n1－15＝541－15n，故选A.8．C[解析]∵log2an＋1＝log2an＋1，∴log2an＋1an＝1，∴an＋1an＝2，所以，数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，所以Sn＝1－2n1－2＝2n－11025，∴2n1026.又2101026211，∴n10，∴nmin＝11.故选C.9．B[解析]∵sin2011π3＝sin670π＋π3＝sinπ3＝，∴(a2－1)3＋2011(a2－1)＝32，(a2010－1)3＋2011(32，cos2011π6＝cos334π＋76π＝cos76π＝－cosπ6＝－32a2010－1)＝－32，两式相加，得[(a2－1)3＋(a2010－1)3]＋2011[(a2－1)＋(a2010－1)]＝0，即(a2＋a2010－2)[(a2－1)2－(a2－1)(a2010－1)＋(a2010－1)2＋2011]＝0，∵(a2－1)2－(a2－1)(a2010－1)＋(a2010－1)2＋20110，∴a2＋a2010＝2，∴S2011＝2011（a2＋a2010）2＝2011，故选B.10．9910[解析]设第一日读的字数为a，由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为a（1－23）1－2＝7a＝34685，解得a＝4955，则2a＝9910，即该君第二日读的字数为9910.11.53，87[解析]设这四个数分别为a1，a1＋d，a1＋2d，a1＋88，其中a1，d均为正偶数，则(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋88)，整理得a1＝4d（22－d）3d－880，(注意体会这里用“a10”而不用“a1≥2”的好处，实际是一种估算能力)所以(d－22)(3d－88)0，即22d883，所以d的所有可能值为24，26，28，当d＝24时，a1＝12，q＝53；当d＝26时，a1＝2085(舍去)；当d＝28时，a1＝168，q＝87，所以q的所有可能值构成的集合为53，87.12．a－1[解析]由已知，有a1＋a2＝a3，a2＋a3＝a4，…，a2011＋a2012＝a2013，各式相加，得a2＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011＝a2013，故数列{an}的前2011项和为a－1.13．4003[解析]设x8＝m，则x9＝m＋2，x10＝m＋4，x11＝m＋6，且x8＋x11＝x9＋x10，∴f(m)＋f(m＋2)＋f(m＋4)＋f(m＋6)＝0，且f(m)f(m＋2)f(m＋4)f(m＋6)，∴f(m)0，f(m＋6)0.若m与m＋6关于原点不对称，则m＋2与m＋4也关于原点不对称，∵f(x)是奇函数，即f(－x)＝－f(x)，∴f(m)＋f(m＋2)＋f(m＋4)＋f(m＋6)≠0，矛盾，∴m与m＋6关于原点对称，则m＋2与m＋4关于原点对称，则m＝－3，x8＝－3，x2011＝x8＋(2011－8)×2＝4003.14．解：(1)设数列{an}的公差为d，由2S2＝a22＋a2，可得2(a1＋a1＋d)＝(a1＋d)2＋(a1＋d)．又a1＝1，数列{an}各项均为正数，可得d＝1.数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，∴an＝n.(2)根据(1)得Sn＝n（n＋1）2，bn＝2Sn＋13n＝n（n＋1）＋13n＝n＋13n＋1.由于函数f(x)＝x＋13x(x0)在(0，13]上单调递减，在[13，＋∞)上单调递增，而3134，且f(3)＝3＋133＝223＝8812，f(4)＝4＋134＝294＝8712，所以当n＝4时，bn取得最小值，且最小值为294＋1＝334.即数列{bn}的最小值项是b4＝334.15．解：(1)第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，∴An＝40n，第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是4，公差为4的等差数列，∴Bn＝4n＋n（n－1）2×4＝2n2＋2n，第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5，公比为2的等比数列，∴Cn＝12（1－2n）1－2＝12(2n－1)．(2)令AnBn，即40n2n2＋2n，解得n19，∵n∈N*，且n≤12，∴AnBn恒成立．令AnCn，即40n12(2n－1)，可得n10，∴当n10时，An最大；当10≤n≤12时，CnAn.综上，若我是一名闯关者，当能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案．【难点突破】16．解：(1)依题意，从第13个月