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直线、平面垂直的判定与性质(时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2013·太原一模]设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l⊂βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β2．[2013·沈阳一模]用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④3．[教材改编试题]如图K41－1，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的为()图K41－1A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE4．[2013·长春三模]PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是()①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.A．①②B．①③C．②③D．②④能力提升5．[2013·济南三模]如图K41－2，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()图K41－2A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°6．[2013·石家庄三模]一直线和平面α所成的角为π3，则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是()A.0，π3B.π3，π2C.π3，2π3D.π3，π图K41－37．如图K41－3，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角是()A．90°B．60°C．45°D．30°8．[2013·郑州一模]设a，b，c表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是()A.c⊥αα∥β⇒c⊥βB.b⊂β，a⊥bc是a在β内的射影⇒b⊥cC.b∥c，b⊂α，c⊄α⇒c∥αD.a∥αb⊥a⇒b⊥α9．[2013·西安三模]已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是()A．①④B．②④C．①D．④10．设α，β，γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)11．[2013·武汉三模]正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝____________．12．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题为__________________．13．[2013·南昌三模]球O与正方体ABCD－A1B1C1D1各面都相切，P是球O上一动点，AP与平面ABCD所成的角为α，则α最大时，其正切值为__________．14．(10分)如图K41－4所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点．(1)求证：A1E⊥平面ADE；(2)求三棱锥A1－ADE的体积．图K41－415．(13分)如图K41－5，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.图K41－5难点突破16．(12分)如图K41－6，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.图K41－6课时作业(四十一)【基础热身】1．B[解析]对于选项A，C，可能l∥β，所以A，C均不正确．对于选项D，可能l∥β或l⊂β或l与β相交，所以D不正确．2．C[解析]由公理4知①是真命题．在空间内a⊥b，b⊥c，直线a，c的关系不确定，故②是假命题．由a∥γ，b∥γ，不能判定a，b的关系，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定理．3．C[解析]因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故C正确．4．A[解析]易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC，又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB，因此选A.【能力提升】5．D[解析]∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴A不成立；又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°.∴D正确．6．B[解析]由最小角定理，知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为π3，最大角是当斜线与平面α内的一条直线垂直时所成的角，它为π2.7．C[解析]∵PA⊥平面ABC，∴PB在平面ABC上的射影是AB，∴∠PBA是直线PB与平面ABC所成的角．又在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，∴∠PBA＝45°，∴直线PB与平面ABC所成的角是45°.8．D[解析]由a∥α，b⊥a可得b与α的位置关系有b∥α，b⊂α，b与α相交，所以D不正确．9．A[解析]我们借助于长方体模型来解决本题．对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α，β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n.10．①②[解析]①②正确，由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直线，所以③错，④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交也可能平行，故填①②.11．90°[解析]在正方体中，C1B1⊥平面ABB1A1，而MN⊂平面ABB1A1，∴C1B1⊥MN.又∠B1MN是直角，即MN⊥MB1，而MB1∩C1B1＝B1，∴MN⊥平面MB1C1，∴MN⊥MC1，即∠C1MN＝90°.12．②③④⇒①(或①③④⇒②)[解析]根据线面、面面垂直的定义、判定定理和性质可知，正确的有②③④⇒①或①③④⇒②.13．22[解析]过正方体的对角面ACC1A1作截面，如图所示，M，N为切点，当AP与平面ABCD所成的角最大时，AP为圆O的切线．设正方体的棱长为2，则OM＝1，AM＝2，tan∠OAM＝22，tanα＝tan2∠OAM＝2tan∠OAM1－tan2∠OAM＝22.14．解：(1)证明：由勾股定理知，A1E＝1＋1＝2，AE＝1＋1＝2，则A1A2＝A1E2＋AE2，∴A1E⊥AE.∵AD⊥平面AA1B1B，A1E⊂平面AA1B1B，∴A1E⊥AD.而AD∩AE＝A，∴A1E⊥平面ADE.(2)S△AA1E＝12·2·2＝1，∴VA1－ADE＝VD－A1AE＝13·S△AA1E·AD＝13×1×1＝13.15．证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.【难点突破】16．证明：(1)∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD.又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，∴AD⊥平面BCC1B1.又∵AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1.又∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥A1F.又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，∴A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知，AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD.又∵AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE.