2014届高考数学(理)一轮复习知识点逐个击破专题讲座函数的单调性与最值(定义域值域)(人教A版)

2014届数学一轮知识点讲座：函数的单调性与最值（定义域、值域）一、考纲目标掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法;了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法;会用函数单调性解决一些问题．二、知识梳理1.求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知()fx的定义域求[()]fgx的定义域或已知[()]fgx的定义域求()fx的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；②若已知()fx的定义域,ab，其复合函数()fgx的定义域应由()agxb解出2.求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域①直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R，当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}；当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2nmxcbxaxxf的形式；③分式转化法（或改为“分离常数法”）④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如：)0(kxkxy，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域⑨逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：),(,nmxdcxbaxy3.证明函数单调性的一般方法:①定义法：设2121,xxAxx且；作差)()(21xfxf（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号②用导数证明：若)(xf在某个区间A内有导数，则()0fx’，)xA（)(xf在A内为增函数；)0)(Axxf，（’)(xf在A内为减函数.4.求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法.5.复合函数)(xgfy在公共定义域上的单调性：①若f与g的单调性相同，则)(xgf为增函数；②若f与g的单调性相反，则)(xgf为减函数.注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集.6．一些有用的结论：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数.④函数)0,0(baxbaxy在,,bbaa或上单调递增；在,00bbaa或，上是单调递减.三、考点逐个突破1.求函数的定义域例1函数2ln(1)34xyxx的定义域为A．(4,1)B．(4,1)C．(1,1)D．(1,1]答案：C【解析】由21011141340xxxxxx.故选C例2已知函数1()1xfxx的定义域为，函数yffx的定义域为，则()AABB()BABØ()CAB()DABB解：|1Axx，121[()]()(1)11xyffxffxxx，令2111x且1x，故|1|0Bxxxx∴BAABBØ,故选取2.求简单函数的值域（值域在新课标高考中已经简化，不宜过深）例3求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②xxf42)(③1xxy④xxy1解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵),0[4x∴),2[)(xf即函数xxf42)(的值域是{y|y2}③1111111xxxxxy∵011x∴1y即函数的值域是{y|yR且y1}（此法亦称分离常数法）④当x0，∴xxy1=2)1(2xx2，当x0时，)1(xxy=－2)1(2xx2∴值域是]2,([2，+)（此法也称为配方法）函数xxy1的图像为：∴值域是]2,([2，+)3.求函数的最值例4.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)xx万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元.（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解（Ⅰ）设需要新建个桥墩，(1)1mnxmx，即n=所以(2)mmxxxxxy=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+2562256.xmxmx（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2332222561'()(512).22mmfxmxxxx-22-11fx=x+1xoyx令'()0fx，得32512x，所以=64当064时'()fx0，()fx在区间（0，64）内为减函数；当64640x时，'()fx0.()fx在区间（64，640）内为增函数，所以()fx在=64处取得最小值，此时，640119.64mnx故需新建9个桥墩才能使最小.4.求函数的单调区间例5.已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR（1）当0a时，求曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线的斜率；（2）当23a时，求函数()fx的单调区间与极值.本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.（I）解：.3)1(')2()(')(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3))1(,1()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线（II）.42)2()('22xeaaxaxxf解：.2232.220)('aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论.（1）a若＞32，则a2＜2a.当变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：a2，a222aa，2a，2a+0—0+↗极大值↘极小值]↗.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数（2）a若＜32，则a2＞2a，当变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：2a，2aaa22，a2，a2+0—0+↗极大值↘极小值↗内是减函数。，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极小值在函数例5已知函数()fx的定义域是0x的一切实数，对定义域内的任意12,xx都有1212()()()fxxfxfx，且当1x时()0,(2)1fxf，5.利用函数的单调性求参数的值或范围例6.已知函数321(),3fxxaxbx且'(1)0f（I）试用含的代数式表示b；（Ⅱ）求()fx的单调区间；（Ⅲ）令1a，设函数()fx在1212,()xxxx处取得极值，记点1122(,()),(,())MxfxNxfx，证明：线段MN与曲线()fx存在异于M、N的公共点；解法一：（I）依题意，得2'()2fxxaxb由'(1)120fab得21ba（Ⅱ）由（I）得321()(21)3fxxaxax（故2'()221(1)(21)fxxaxaxxa令'*()0fx，则1x或12xa①当1a时，121a当变化时，'()fx与()fx的变化情况如下表：(,12)a(2,1)a(1)'()fx+—+()fx单调递增单调递减单调递增由此得，函数()fx的单调增区间为(,12)a和(1,)，单调减区间为(12,1)a②由1a时，121a，此时，'()0fx恒成立，且仅在1x处'()0fx，故函数()fx的单调区间为R③当1a时，121a，同理可得函数()fx的单调增区间为(,1)和(12,)a，单调减区间为(1,12)a综上：当1a时，函数()fx的单调增区间为(,12)a和(1,)，单调减区间为(12,1)a；当1a时，函数()fx的单调增区间为R；当1a时，函数()fx的单调增区间为(,1)和(12,)a，单调减区间为(1,12)a（Ⅲ）当1a时，得321()33fxxxx由3'()230fxxx，得121,3xx由（Ⅱ）得()fx的单调增区间为(,1)和(3,)，单调减区间为(1,3)所以函数()fx在121.3xx处取得极值.故5(1,).(3,9)3MN所以直线MN的方程为813yx由22133813yxxxyx得32330xxx令32()33Fxxxx易得(0)30,(2)30FF，而()Fx的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线，故()Fx在(0,2)内存在零点0x，这表明线段MN与曲线()fx有异于,MN的公共点解法二：（I）同解法一（Ⅱ）同解法一.（Ⅲ）当1a时，得321()33fxxxxx，由2'()230fxxx，得121,3xx由（Ⅱ）得()fx的单调增区间为(,1)和(3,)，单调减区间为(1,3)，所以函数()fx在121,3xx处取得极值，故5(1,),(3,9)3MN所以直线MN的方程为813yx由32133813yxxxyx得32330xxx解得1231,1.3xxx1233121135119,,33xxxyyy所以线段MN与曲线()fx有异于,MN的公共点11(1,)3一、选择题1．(2011·高考课标全国卷)下列函数中，既是偶函数又在()0，＋∞上单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|解析：选B.∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对．y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数，故C不对．D中y＝2－|x|＝12|x|虽是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数，只有B对．2．函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)解析：选C.要使函数有意义，则16－4x≥0.又因为4x0，∴0≤16－4x1