2014届高考数学(理)一轮复习知识点逐个击破专题讲座函数的图像函数与方程(人教A版)

2014届数学一轮知识点讲座：函数的图像、函数与方程一、考纲目标会利用描点法和图像变换法做草图，然后用数形结合的思想解决一些较为复杂的数学问题；理解函数的零点存在性定理，会根据图像准确的找到零点.二、知识梳理（一）、函数的图像1.作图、识图1．作图：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）、对称性；④描点连线，画出函数的图象.2．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．2.四种变换1．平移变换（1）水平平移：函数()yfxa的图像可以把函数()yfx的图像沿轴方向向左(0)a或向右(0)a平移||a个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()yfxa的图像可以把函数()yfx的图像沿轴方向向上(0)a或向下(0)a平移||a个单位即可得到．①y=f(x)h左移y=f(x+h);②y=f(x)h右移y=f(xh);③y=f(x)h上移y=f(x)+h;④y=f(x)h下移y=f(x)h.2．对称变换（1）函数()yfx的图像可以将函数()yfx的图像关于轴对称即可得到；（2）函数()yfx的图像可以将函数()yfx的图像关于轴对称即可得到；（3）函数()yfx的图像可以将函数()yfx的图像关于原点对称即可得到；（4）函数1()yfx的图像可以将函数()yfx的图像关于直线yx对称得到．3．翻折变换（1）函数|()|yfx的图像可以将函数()yfx的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留()yfx的轴上方部分即可得到；（2）函数(||)yfx的图像可以将函数()yfx的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留()yfx在轴右边部分即可得到．y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx4．伸缩变换（1）函数()yafx(0)a的图像可以将函数()yfx的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的倍得到；（2）函数()yfax(0)a的图像可以将函数()yfx的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的1a倍得到．（二）函数与方程1．函数y=f(x)的零点，实际上就是方程f(x)=0的根，也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.函数的零点是一个数，而不是直角坐标系中的点.2.函数零点的求法：代数法：求方程f(x)＝0的实数根；几何法：不能用求根公式的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系，利用函数性质找出零点3．零点存在性定理：若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，则函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点，即存在),(bac，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.4.二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)mn，则必有()()0fmfn，再取区间的中点2mnp，再判断()()fpfm的正负号，若()()0fpfm，则根在区间(,)mp中；若()()0fpfm，则根在(,)pn中；若()0fp，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．三、考点逐个突破1．做图、识图例1函数()yfx与()ygx的图像如下图：则函数()()yfxgx的图像可能是解：∵函数()()yfxgx的定义域是函数()yfx与()ygx的定义域的交集(,0)(0,)，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D.由于当x为很小的正数时()0fx且()0gx，故()()0fxgx∴选A.例2.分别画出下列函数的图像：(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝|x－2|·(x＋1)．例3.函数y＝ax2＋bx与y＝logbax(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是[解析]A、B选项由对数函数图像得ba1，而抛物线对称轴－b2a12，∴ba1，∴A、B不合题意．C选项中对称轴－b2a－12，则ba1，而对数底数ba1，∴C选项不成立．而D选项，－b2a－12，∴ba1，又对数函数的底数ba1，∴选D.2.图像的变换例4.说明由函数2xy的图像经过怎样的图像变换得到函数321xy的图像．解：方法一：（1）将函数2xy的图像向右平移3个单位，得到函数32xy的图像；（2）作出函数32xy的图像关于轴对称的图像，得到函数32xy的图像；（3）把函数32xy的图像向上平移1个单位，得到函数321xy的图像．方法二：（1）作出函数2xy的图像关于轴的对称图像，得到2xy的图像；（2）把函数2xy的图像向左平移3个单位，得到32xy的图像；（3）把函数32xy的图像向上平移1个单位，得到函数321xy的图像．例5.设曲线C的方程是3yxx，将C沿轴、轴正方向分别平移、(0)t个单位长度后得到曲线1C，（1）写出曲线1C的方程；（2）如果曲线C与1C有且仅有一个公共点，证明：24tst．解：（1）曲线1C的方程为3()()yxtxts；（2）证明：因为曲线C与1C有且仅有一个公共点，∴方程组33()()yxxyxtxts有且仅有一组解，消去，整理得22333()0txtxtts，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，∴43912()0tttts，即得3(44)0ttts，因为0t，所以34tst．3.函数图像的综合应用例6.已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．解：作出图像如图所示．(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]．(2)由图像可知，y＝f(x)与y＝m图像，有四个不同的交点，则0m1，∴集合M＝{m|0m1}．4.函数零点的判断例7.判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]；(3)f(x)＝1x－x，x∈(0,1)．解(1)∵f(1)＝－200，f(8)＝220，∴f(1)·f(8)0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．(2)∵f(1)＝log2(1＋2)－1log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3log28－3＝0，∴f(1)·f(3)0，故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点，(3)画出函数f(x)＝1x－x的图像如图．由图像可知，f(x)＝1x－x在(0,1)内图像与x轴没有交点，故f(x)＝1x－x在(0,1)内不存在零点．5.二分法及应用例8.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数值如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为__________．解析：通过参考数据可以得到：f(1.375)＝－0.2600，f(1.4375)＝0.1620，且1.4375－1.375＝0.06250.1，所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4375.6.函数零点的应用例9.设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1,2]上有零点，求m的取值范围．解：方法一：令F(x)＝0，即g(x)－f(x)－m＝0，所以有m＝g(x)－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)＝log22x－12x＋1＝log2(1－22x＋1)∵1≤x≤2，∴3≤2x＋1≤5，∵25≤22x＋1≤23，13≤1－22x＋1≤35.∴log213≤log2(1－22x＋1)≤log235，即log213≤m≤log235.方法二：log2(2x－1)＝m＋log2(2x＋1)，∴log2(2x－1)＝log2[2m·(2x＋1)]，∴2x－1＝2m·(2x＋1)，∴2x(1－2m)＝2m＋1,2x＝2m＋11－2m，即x＝log2(2m＋11－2m)．∵1≤x≤2，∴1≤log2(2m＋11－2m)≤2，∴2≤2m＋11－2m≤4，解得13≤2m≤35，即log213≤m≤log235.一、选择题1．函数y＝5x与函数y＝－15x的图象关于()A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称解析：选C.因y＝－15x＝－5－x，所以关于原点对称．2．把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是()A．y＝(x－3)2＋3B．y＝(x－3)2＋1C．y＝(x－1)2＋3D．y＝(x－1)2＋1解析：选C.把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得到y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.3．(2013·铁岭质检)已知图①是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是()A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)解析：选C.由题图②知，图象对应的函数是偶函数，且当x0时，对应的函数是y＝f(x)，故选C.4．(2011·高考课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，34解析：选C.∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋40.∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数．∵f－14＝e－14－40，f(0)＝e0＋4×0－3＝－20，f14＝e14－20，f12＝e12－10，∴f14·f120.5．方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B.∵a＞0，∴a2＋1＞1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．∴方程有两解．二、填空题6．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．解析：由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)0，所以下一个有根区间为(2，2.5)．答案：(2,2.5)7.函数y＝f(x)(x∈[－2,2])的图象如图所示，则f(x)＋f(－x)＝________.解析：由图象可知f(x)为定义域上的奇函数．∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.答案：08.如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f1f的值等于________．解析：由图知f(3)＝1，f1f＝f(1)＝2.答案：2三、解答题9．作出下列函数的大致图象(1)y＝x2－2|x|；(2)y＝log13[3(x＋2)]；(3)y＝1－x.解：(1)y＝x2－2x，xx2＋2x，x＜图象如图(1).(2)y＝log133＋log13(x＋2)＝－1＋