2014届高考数学一轮专题复习高效测试56几何概型新人教A版

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1高效测试56:几何概型一、选择题1.如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.14B.13C.12D.23解析:点E为边CD的中点,故所求的概率P=△ABE的面积矩形ABCD的面积=12,故选C.答案:C2.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于S4的概率是()A.14B.12C.34D.23解析:如图所示,设△ABC的BC边上的高为AD,在AB边上任取一点P,由点P作PE⊥BC,垂足为E,则易知当PE>14AD时,△PBC的面积大于S4,即当BPBA>14时,△PBC的面积大于S4.记A={△PBC面积大于S4}.由几何概型的概率公式,得P(A)=341=34.答案:C3.如图所示,A是圆上一定点,在圆上其他位置任取一点A′,连结AA′,得到一条弦,则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.12B.32C.13D.14解析:当AA′的长度等于半径长度时,∠AOA′=π3,A′点左右各一点,故由几何概型的概率公式得P=2π32π=13,故选C.2答案:C4.分别在区间[0,5]和[0,3]内任取一个实数,依次记为m和n,则m>n的概率为()A.710B.310C.35D.25解析:建立平面直角坐标系(如图所示),则由图可知满足m>n的点应在梯形OABD内,所以所求事件的概率为P=S梯形OABDS矩形OABC=710.答案:A5.设不等式组x≥0,y≥0,x≤2,y≤2所表示的区域为A,现在区域A中任意丢进一个粒子,则该粒子落在直线y=x+1下方的概率为()A.13B.78C.12D.34解析:不等式组表示的平面区域A为图中阴影部分所示,直线y=x+1过平面区域中的(0,1),(1,2)点,所以直线y=x+1下方的阴影部分的面积为2×2-12×1×1=72,所以所求的概率为724=78.答案:B6.若a是从区间[0,3]内任取的一个实数,b是从区间[0,2]内任取的一个实数,则关于x的一元二次方程x2-2ax+b2=0有实根的概率为()A.23B.14C.35D.133解析:方程有实根,则Δ=4a2-4b2≥0,则a≥b≥0,不等式组0≤a≤30≤b≤2a≥b所满足的可行域如图中阴影部分所示,则根据几何概型概率公式可得,所求概率P=S四边形OABDS矩形OABC=46=23,故选A.答案:A二、填空题7.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则|x|≤1的概率为__________.解析:由|x|≤1得,-1≤x≤1,故易知所求概率为1--2--=23.答案:238.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为__________.解析:先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率,圆柱的体积V圆柱=π×12×2=2π,以O为球心,1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球=12×43π×13=23π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为:23π2π=13,故点P到点O的距离要大于1的概率为:1-13=23.答案:239.已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为__________;(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为__________.解析:根据点到直线的距离公式得d=255=5;设直线4x+3y=c到圆心的距离为3,则|c|5=3,取c=15,则直线4x+3y=15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值是所求的概率,由于圆半径是23,则可得直线4x+3y=15截得的圆弧所对的圆心角为60°,故所求的概率是16.答案:516三、解答题10.求下列概率:(1)已知x∈(-1,1),求x2<1的概率;(2)已知x,y∈(-1,1),求x2+y2<1的概率;(3)已知x,y,z∈(-1,1),求x2+y2+z2<1的概率.解析:(1)x∈(-1,1)的结果是任意的且有无限个,属于几何概型.4设x2<1为事件A,则事件A构成的区域长度是1-(-1)=2,全部结果构成的区域长度是1-(-1)=2,则P(A)=22=1,即x2<1的概率是1.(2)x,y∈(-1,1)的结果是任意的且有无限个,属于几何概型.设x2+y2<1为事件B,则事件B构成的区域面积是平面直角坐标系中以原点为圆心、半径为1的圆的面积π,全部结果构成的区域面积是平面直角坐标系中直线x=±1,y=±1围成的正方形的面积22=4,则P(B)=π4,即x2+y2<1的概率是π4.(3)x,y,z∈(-1,1)的结果是任意的且有无限个,属于几何概型.设x2+y2+z2<1为事件C,则事件C构成的区域体积是空间直角坐标系中以原点为球心、半径为1的球的体积4π3,全部结果构成的区域体积是空间直角坐标系中平面x=±1,y=±1,z=±1围成的正方体的体积23=8,则P(C)=4π38=π6,即x2+y2+z2<1的概率是π6.11.已知复数z=x+yi(x,y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合P中随机取一个数作为x,从集合Q中随机取一个数作为y,求复数z为纯虚数的概率;(2)设x∈[0,3],y∈[0,4],求点M落在不等式组x+2y-3≤0,x≥0,y≥0所表示的平面区域内的概率.解析:(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个:-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i,-2,-2+i,-2+2i,0,i,2i,且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型,其中事件A包含的基本事件共2个:i,2i,∴所求事件的概率为P(A)=212=16.(2)依条件可知,点M均匀地分布在平面区域{(x,y)|0≤x≤30≤y≤4}内,属于几何概型.该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域,面积为S=3×4=12.5而所求事件构成的平面区域为{(x,y)|x+2y-3≤0x≥0y≥0},其图形如图中的三角形OAD(阴影部分).又直线x+2y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0),D(0,32),∴△OAD的面积为S1=12×3×32=94.∴所求事件的概率为P=S1S=9412=316.12.已知函数f(x)=ax2-2bx+a(a,b∈R).(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,求方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率;(2)若b从区间[0,2]中任取一个数,a从区间[0,3]中任取一个数,求方程f(x)=0没有实根的概率.解析:(1)∵a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,∴a,b取值的情况是:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,即基本事件总数为16.设“方程f(x)=0恰有两个不相等的实根”为事件A,当a>0,b≥0时,方程f(x)=0恰有两个不相等实根的充要条件为b>a且a≠0,当b>a且a≠0时,a,b取值的情况有(1,2),(1,3),(2,3),即事件A包含的基本事件数为3,∴方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率P(A)=316.(2)∵b从区间[0,2]中任取一个数,a从区间[0,3]中任取一个数,则试验的全部结果构成区域Ω={(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},这是一个矩形区域,其面积SΩ=2×3=6,设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构成的区域为M={(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a>b},其面积SM=6-12×2×2=4,由几何概型的概率计算公式可得:方程f(x)=0没有实根的概率P(A)=SMSΩ=46=23.

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