2014届高考数学一轮复习A级基础达标演练1理

-1-A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列各式中对x∈R都成立的是()．A．lg(x2＋1)≥lg(2x)B．x2＋1＞2xC.1x2＋1≤1D．x＋1x≥2解析A、D中x必须大于0，故A、D排除，B中应x2＋1≥2x，故B不正确．答案C2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是()．A．a，b都不能被5整除B．a，b都能被5整除C．a，b中有一个不能被5整除D．a，b中有一个能被5整除解析由反证法的定义得，反设即否定结论．答案A3下列命题中的假命题是()．A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数解析a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．答案D4．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()．A．不成立B．成立C．不能断定D．能断定解析∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．-2-答案B5．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋1b、b＋1c、c＋1a()．A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D二、填空题(每小题4分，共12分)6．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应该是______________________________________________．解析用反证法证明命题时，假设结论不成立，即否定命题的结论．答案三角形的三个内角都大于60°7．要证明“3＋7＜25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．①反证法，②分析法，③综合法．答案②8．下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使ba＋ab≥2成立的条件的个数是________．解析要使ba＋ab≥2，只要ba＞0且ab＞0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．答案3三、解答题(共23分)9．(11分)设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1a＋1b＋1ab≥8.证明∵a＋b＝1，∴1a＋1b＋1ab＝a＋ba＋a＋bb＋a＋bab＝1＋ba＋1＋ab＋a＋bab≥2＋2ba·ab＋a＋ba＋b22＝2＋2＋4＝8，当且仅当a＝b＝12时等号成立．-3-10．(12分)已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|＋|b||a＋b|≤2.证明a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|＋|b||a＋b|≤2.只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知函数f(x)＝12x，a，b是正实数，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A、B、C的大小关系为()．A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析∵a＋b2≥ab≥2aba＋b，又f(x)＝12x在R上是减函数．∴fa＋b2≤f(ab)≤f2aba＋b.答案A2．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：①1]()．A．nB．n＋1C．n－1D．n2解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1]答案A二、填空题(每小题4分，共8分)3．如果aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________．解析首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.要使aa＋bb＞ab＋ba，只需(aa＋bb)2＞(ab＋ba)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需-4-(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.答案a≥0，b≥0且a≠b4．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)．①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．解析①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，∴x∥平面y或x⊂平面y.又∵x⊄平面y，故x∥y成立．②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立．③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立．④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立．⑤x，y，z均为直线，x，y可平行、异面、相交，故⑤不成立．答案①③④三、解答题(共22分)5．(10分)若a、b、c是不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc.证明∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0，a＋c2≥ab＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．∴a＋b2·b＋c2·c＋a2＞abc成立．上式两边同时取常用对数，得lga＋b2·b＋c2·c＋a2＞lg(abc)，∴lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc.6．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.(1)证明：1a是f(x)＝0的一个根；(2)试比较1a与c的大小；-5-(3)证明：－2＜b＜－1.(1)证明∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝ca，∴x2＝1a1a≠c，∴1a是f(x)＝0的一个根．(2)解假设1a＜c，又1a＞0，由0＜x＜c时，f(x)＞0，知f1a＞0与f1a＝0矛盾，∴1a≥c，又∵1a≠c，∴1a＞c.(3)证明由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a＞0，c＞0，∴b＜－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝－b2a＝x1＋x22＜x2＋x22＝x2＝1a，即－b2a＜1a.又a＞0，∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.