2014届高考数学一轮必备考情分析学案11.3《二项式定理》

11.3二项式定理考情分析1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．基础知识1．二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的系数Crn(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．式中的Crnan－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crnan－rbr.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.[来源:Zxxk.Com](4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即Crn＝Cn－rn.(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当k＜n＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项Cn2n取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn－12n，Cn＋12n取得最大值．(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n；C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.注意事项1.运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Crnan－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．2.二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．3.(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．4.(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．题型一二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】已知(33x2－1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是()A.－24B.24[来源:Z.xx.k.Com]C.－252D.252答案：D解析：令x＝1可得各项系数之和为2n＝256，则n＝8，故展开式中第7项的系数为C68×32×(－1)6＝252.【变式1】若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值为________．解析二项式x－ax26展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr6x6－r(－a)rx－2r＝Cr6x6－3r(－a)r，当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是C26a，根据已知C26a＝60，解得a＝4.答案4题型二二项式定理中的赋值【例2】已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝()A.180B.90C.－5D.5答案：A解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：Tr＋1＝Cr10210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．所以a8＝C81022(－1)8＝180.故选A.【变式2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.题型三二项式的和与积【例3】二项式(2x＋x)(1－x)4的展开式中x的系数是________．答案：3[来源:学科网ZXXK]解析：利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有2x·(－x)4和x·14，求和后可得3x，即展开式中x的系数为3.【变式3】xx－2x7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)．解析原问题等价于求x－2x7的展开式中x3的系数，x－2x7的通项Tr＋1＝Cr7x7－r－2xr＝(－2)rCr7x7－2r，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系数为(－2)2C27＝84，即xx－2x7的展开式中x4的系数为84.答案84重难点突破【例4】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1，①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.[来源:学#科#网](3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)．[来源:学科网]∴由(2)、(3)即可得其值为2187.