2014届高考数学一轮必备考情分析学案126《离散型随机变量的均值与方差》

12.6离散型随机变量的均值与方差考情分析本节是高考必考内容，可以在选择填空中考查正态分布（主要考查正态曲线特点、性质的应用，属容易题）还可以在解答题中与排列组合、互斥事件的概率、独立事件的概率、条件概率，分布列、期望、方差等知识综合考查（属中档题）基础知识1、离散型随机变量的均值与方差：一般的，若随机变量X的分布列为X[来源:学.科.网]1x2xgggixgggxP1p2pgggipgggnp（1）均值：1122()nnEXxpxpxp=+++ggg为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平（2）方差：21()(())niiiDXxEXP==-åg为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离度，其算术平方根()DX为随机变量X的标准差2、均值与方差的性质：（1）()()EaXbaEXb+=+（2）2()()DaXbaDX+=（a,b为常数）3、两点分布与二项分布的均值与方差：（1）若X服从两点分布，则(),()(1)EXpDXpp==-（2）若(,)XBnp:，则(),()(1)EXnpDXnpp==-注意事项1.在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)．2.(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；(2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；(3)若X服从超几何分布，则E(X)＝nMN.[来源:Z,xx,k.Com]3.(1)E(C)＝C(C为常数)(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数)(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)(5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2(6)D(aX＋b)＝a2·D(X)题型一离散型随机变量的均值和方差【例1】已知袋中装有6个白球、2个黑球，从中任取3个球，则取到白球个数ξ的期望E(ξ)＝()A.2B.5928C.6128D.94答案：D解析：取到的白球个数ξ可能的取值为1,2,3.所以P(ξ＝1)＝C16C22C38＝328；P(ξ＝2)＝C26C12C38＝1528；P(ξ＝3)＝C36C38＝514.因此取到白球个数ξ的期望E(ξ)＝328＋2×1528＋3×514＝6328＝94.【变式1】本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．解(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.P(ξ＝0)＝14×12＝18；P(ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P(ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝516；P(ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P(ξ＝8)＝14×14＝116.甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为ξ02468P18516516316116所以E(ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.题型二均值与方差性质的应用【例2】►设随机变量X具有分布P(X＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，DX－1.解∵E(X)＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155＝3.E(X2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11.D(X)＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2.∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋12＋4＝27.D(2X－1)＝4D(X)＝8，DX－1＝DX＝2.【变式2】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．解(1)X的分布列为X01234P1212011032015∴E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴a＝2，b＝－2，或a＝－2，b＝4，即为所求．题型三均值与方差的实际应用【例3】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．解(1)因为E(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2.又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.由6a＋7b＝3.2，a＋b＝0.5，解得a＝0.3，b＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．【变式3】某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X的概率分布及E(X)；(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．解(1)依题意，X的可能取值为1,0，－1，X的分布列为X10－1P121414E(X)＝12－14＝14.(2)设Y表示10万元投资乙项目的收益，则Y的分布列为：Y2－2PαβE(Y)＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥14，∴916≤α≤1.重难点突破【例4】甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为23，乙机投弹一次命中目标的概率为12，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响．(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；(2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解析]设Ak表示甲机命中目标k次，k＝0,1,2，Bl表示乙机命中目标l次，l＝0,1,2，则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P(Ak)＝Ck223k132－k，P(Bl)＝Cl212l122－l.据此算得P(A0)＝19，P(A1)＝49，P(A2)＝49.P(B0)＝14，P(B1)＝12，P(B2)＝14.(1)所求概率为1－P(A0B0＋A0B1＋A1B0)＝1－19×14＋19×12＋49×14＝1－736＝2936.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝P(A0)·P(B0)＝19×14＝136，P(ξ＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝19×12＋49×14＝16，[来源:Z&xx&k.Com]P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝19×14＋49×12＋49×14＝1336，P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝49×14＋49×12＝13，P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝49×14＝19.综上知，ξ的分布列如下：ξ01234P1361613361319从而ξ的期望为E(ξ)＝0×136＋1×16＋2×1336＋3×13＋4×19＝73.巩固提高1.设ξ是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝454，则n与p的值为()A．60，34B．60，14C．50，34D．50，14答案：B解析：由ξ～B(n，p)，有E(ξ)＝np＝15，D(ξ)＝np(1－p)＝454，∴p＝14，n＝60.2.设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(Xa－2)，则实数a的值为()A.4B.6C.8D.10答案：A解析：由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，∴a－2＝2，∴a＝4，选A.3.在正态分布N(0，19)中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为()A.0.097B.0.046C.0.03D.0.0026答案：D解析：∵μ＝0，σ＝13，∴P(x－1或x1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.4.某校约有1000人参加摸底考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为()A.200B.300C.400D.600答案：A解析：由题知，P(x≥110)＝12×(1－35)＝15，则成绩不低于110分的学生人数约为1000×15＝200.5.为了给2013年天津东亚运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中二个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝()A.1B.43C.53D.2答案：43解析：由题意知，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，[来源:Zxxk.Com]P(ξ＝0)＝(12)2×23＝212；P(ξ＝1)＝12×12×23＋12×12×23＋12×12×13＝512；P(ξ＝2)＝12×12×23＋12×12×13＋12