2014届高考数学一轮第10章《计数原理概率随机变量及其分布》(第3课时)知识过关检测理新人教A版

12014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》（第3课时）（新人教A版）一、选择题1．(2013·济南质检)若二项式x－2xn的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为()A．6B．10C．12D．15解析：选C.Tr＋1＝Crn(x)n－r－2xr＝(－2)r·Crnxn－3r2.当r＝4时，n－3r2＝0，∴n＝12.2．(2013·北京东城区质检)2x－1x4的展开式中的常数项为()A．－24B．－6C．6D．24解析：选D.Tr＋1＝Cr4(2x)4－r－1xr＝(－1)r24－rCr4x4－2r.令4－2r＝0，得r＝2，常数项为T3＝(－1)222C24＝24.3．(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为()A．－1B．0C．1D．2解析：选B.展开式的通项公式Tk＋1＝Ck8·28－k·(－x)k＝(－1)kCk828－kxk2.由k2＝4得k＝8，则含x4项的系数为1.令x＝1得展开式所有项系数和为(2－1)8＝1.故展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0.4．若x－12n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为()A.132B.164C．－164D.1128解析：选B.由题意知C2n＝nn－2＝15，所以n＝6，故x－12n＝x－126，令x＝1得所有项系数之和为126＝164，故选B.5．(2013·济南质检)(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|的值为()A．1B．64C．243D．729解析：选D.|a0|＋|a1|＋…＋|a6|即为(1＋2x)6展开式中各项系数的和．在(1－2x)6中，令x＝－1，则|a0|＋|a1|＋…＋|a6|＝(1＋2)6＝36＝729.2二、填空题6．(2012·高考广东卷)x2＋1x6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)解析：x2＋1x6的展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(x2)6－r·1xr＝Cr6x12－3r.令12－3r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为C36＝6×5×41×2×3＝20.答案：207．(2012·高考浙江卷)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.解析：不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C25(－1)2＝10.答案：108．(2013·安徽八校联考)x＋12xn的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．解析：由已知条件第五项和第六项的二项式系数最大，得n＝9，则x＋12x9的展开式中第四项T4＝C39(x)612x3＝212.答案：212三、解答题9．(2013·潍坊质检)已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于(165x2＋1x)5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．解：由(165x2＋1x)5得，Tr＋1＝Cr5(165x2)5－r(1x)r＝(165)5－r·Cr5·x20－5r2.令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，∴r＝4，∴常数项T5＝C45×165＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n.由题意得2n＝16，∴n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，∴C24a4＝54，∴a＝±3.10．已知(441x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.(1)求含有x3的项；(2)求二项式系数最大的项．解：(1)由已知得Cn－2n＝45，即C2n＝45，∴n2－n－90＝0，解得n＝－9(舍)或n＝10.由通项公式得Tr＋1＝Cr10(4·x－14)10－r(x23)r.＝Cr10·410－r·x－10－r4＋23r.3令－10－r4＋23r＝3，得r＝6，∴含有x3的项是T7＝C610·44·x3＝53760x3.(2)∵此展开式共有11项，∴二项式系数最大项是第6项，∴T6＝C510(4x－14)5(x23)5＝258048x2512.一、选择题1．(2012·高考湖北卷)设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12解析：选D.512012＋a＝(13×4－1)2012＋a，被13整除余1＋a.结合选项可得a＝12时，512012＋a能被13整除．2．(2011·高考陕西卷)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是()A．－20B．－15C．15D．20解析：选C.设展开式的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝Cr6·(4x)6－r·(－2－x)r＝Cr6·(－1)r·212x－3rx.∵12x－3rx＝0恒成立，∴r＝4，∴T5＝C46·(－1)4＝15.∴选C.二、填空题3．(2011·高考安徽卷)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.解析：由二项展开式知Tr＋1＝Cr21x21－r(－1)r，∴a10＋a11＝C1121(－1)11＋C1021(－1)10＝－C1121＋C1021＝－C1021＋C1021＝0.答案：04．(2013·南京质检)已知a＝0π(sinx＋cosx)dx，则二项式ax－1x6展开式中含x2项的系数是________．解析：由题意知，a＝(－cosx＋sinx)|π0＝2，则展开式中含x2项的系数为C1625(－1)＝－192.答案：－192三、解答题5．设(5x12－x13)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝992.(1)判断该展开式中有无x2项？若有，求出它的系数；若没有，说明理由；(2)求此展开式中有理项的项数．解：令x＝1得M＝4n，而N＝2n，由M－N＝992，得4n－2n＝992.即(2n－32)·(2n＋31)＝0，故2n＝32，n＝5.(1)Tk＋1＝Ck5·(5x12)5－k(－x13)k＝(－1)k·Ck5·55－k·x5－k2·xk3＝(－1)k·Ck5·55－k·x15－k6.由题意，令15－k6＝2，解得k＝3，故含x2项存在．它的系数为(－1)3·C35·55－3＝－250.4(2)展开式中的有理项应满足15－k6∈Z0≤k≤5k∈Z，故k只能取3，即展开式中只有一项有理项．