2014届高考数学二轮专题热点提升训练：椭圆、双曲线、抛物线的基本问题(1)

常考问题14椭圆、双曲线、抛物线的基本问题(建议用时：50分钟)1．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()．A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1解析直线AB的斜率k＝0＋13－1＝12，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x21a2＋y21b2＝1①x22a2＋y22b2＝1，②①－②得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以k＝－b2a2×2－2，所以b2a2＝12，③又a2－b2＝c2＝9，④由③④得a2＝18，b2＝9.故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.答案D2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为()．A．5x2－45y2＝1B.x25－y24＝1C.y25－x24＝1D．5x2－54y2＝1解析由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，即c＝1，又e＝ca＝5，可得a＝55，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝45，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－54y2＝1.答案D3．(2013·湖州一模)已知抛物线y2＝4px(p＞0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()．A.5＋12B.2＋1C.3＋1D.22＋12解析依题意，得F(p，0)，因为AF⊥x轴，设A(p，y)，y0，y2＝4p2，所以y＝2p.所以A(p，2p)．又点A在双曲线上，所以p2a2－4p2b2＝1.又因为c＝p，所以c2a2－4c2c2－a2＝1，化简，得c4－6a2c2＋a4＝0，即ca4－6ca2＋1＝0.所以e2＝3＋22，e＝2＋1.答案B4．已知双曲线C与椭圆x216＋y212＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于()．A．3B．4C．2D．1解析由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c＝16－12＝2，故椭圆的离心率e1＝24＝12，则双曲线的离心率e2＝1e1＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c＝2.设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则有a＝ce2＝22＝1，b2＝c2－a2＝22－12＝3，所以双曲线的标准方程为x2－y23＝1.因为点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF2|＝4，所以|PF1|＝6.因为坐标原点O为F1F2的中点，M为PF2的中点．所以|MO|＝12|PF1|＝3.答案A5．(2013·山东卷)抛物线C1：y＝12px2(p0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()．A.316B.38C.233D.433[来源:学+科+网]解析抛物线C1：y＝12px2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F0，p2；双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点F′为(2，0)，其渐近线方程为y＝±33x.由y′＝1px，所以1px＝33，得x＝33p，所以点M的坐标为33p，p6.由点F，F′，M三点共线可求p＝433.答案D6．(2013·陕西卷)双曲线x216－y2m＝1(m0)的离心率为54，则m等于________．[来源:学科网ZXXK]解析由题意得c＝16＋m，所以16＋m4＝54，解得m＝9.答案97．(2013·合肥二模)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点PA⊥l，A为垂足，如果AF的斜率为－3，那么|PF|＝________．[来源:Z。xx。k.Com]解析抛物线的焦点为F(2，0)，准线为x＝－2，因为PA⊥准线l，设P(m，n)，则A(－2，n)，因为AF的斜率为－3，所以n－2－2＝3，得n＝－43，点P在抛物线上，所以8m＝(－43)2＝48，m＝6.因此P(6，－43)，|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8.答案88．(2013·福建卷)椭圆T：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析直线y＝3(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2，在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1.答案3－19．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．解(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43.(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝1－b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组y＝x＋c，x2＋y2b2＝1，消去y，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则x1＋x2＝－2c1＋b2，x1x2＝1－2b21＋b2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|，即43＝2|x2－x1|.则89＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4（1－b2）（1＋b2）2－4（1－2b2）1＋b2＝8b4（1＋b2）2，解得b＝22.10．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．解(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，所以c＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得1b2＝1，即b＝1.所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理，得2k2－m2＋1＝0，①由y2＝4x，y＝kx＋m消y，得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.∵直线l与抛物线C2相切，∴Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理，得km＝1，②联立①、②，得k＝22，m＝2，或k＝－22，m＝－2，∴l的方程为y＝22x＋2或y＝－22x－2.11．(2013·陕西卷)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．解(1)如图1设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.由此得|4－x|＝2（x－1）2＋y2，化简得x24＋y23＝1，所以，动点M的轨迹方程为x24＋y23＝1.(2)法一由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图2.将y＝kx＋3代入x24＋y23＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)0，解得k232.由根与系数的关系得，x1＋x2＝－24k3＋4k2，①x1x2＝243＋4k2.②又因A是PB的中点，故x2＝2x1，③将③代入①，②，得x1＝－8k3＋4k2，x21＝123＋4k2，图1图2可得－8k3＋4k22＝123＋4k2，且k232，解得k＝－32或k＝32，所以，直线m的斜率为－32或32.法二由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图2.∵A是PB的中点，∴x1＝x22，①y1＝3＋y22.②又x214＋y213＝1，③x224＋y223＝1，④联立①，②，③，④解得x2＝2，y2＝0或x2＝－2，y2＝0，即点B的坐标为(2，0)或(－2，0)，所以，直线m的斜率为－32或32.备课札记：[来源:学科网][来源:学#科#网Z#X#X#K]