第16届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答

“高中物理参考”收集第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答第1页第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、参考解答1只要有液态水存在，平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强之和：3.0atmppp总空饱00（1）第一次膨胀后102VV2.0atmppp总空饱11（2）由于第一次膨胀是等温过程，所以0102pVpVpV空空空011（3）解（1）、（2）、（3）三式，得1.0atmp饱（4）2.0atmp空0（5）1.0atmp空1（6）由于1.0atmp饱，可知汽缸中气体的温度0373KT（7）根据题意，经两次膨胀，气体温度未改变。2设水蒸气为mol水．经第一次膨胀，水全部变成水蒸气，水蒸气的压强仍为p饱，这时对于水蒸气和空气分别有10pVRT饱水（8）1002pVRTRT空1空（9）由此二式及（5）、（6）式可得2mol水（10）3.在第二次膨胀过程中，混合气体可按理想气体处理，有21pVpV总2总1（11）由题意知，204VV，102VV，再将（2）式代入，得1.0atmp总2（12）“高中物理参考”收集第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答第2页二、参考解答l．在所示的光路图（图复解16-2-1）中，人射光AB经透镜1L折射后沿BC射向2L，经2L折射后沿CD出射．AB、BC、CD与透镜主轴的交点分别为P、P和P，如果P为物点，因由P沿主轴射向1O的光线方向不变，由透镜性质可知，P为P经过1L所成的像，P为P经2L所成的像，因而图中所示的1u、1v、2u、2v之间有下列关系：111111uvf（1）222111uvf（2）21duv（3）当入射光线PB与出射光线平行时，图中的，利用相似三角形关系可求得21vhhu,21uhhv从而求得2211vuuv（4）联立方程（1）、（2）、（3）、（4），消去1v、2u和2v，可得1112()fdudff（5）由于d、1f、2f均已给定，所以1u为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在1L的左方与1L相距1112()fdudff处，又由“高中物理参考”收集第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答第3页于1u与无关，凡是通过该点射向1L的入射光线都和对应的出射光线相互平行．2．由所得结果（5）式可以看出，当12dff时，10u，此情况下的光路图就是图复解16-2-1．当12dff时，1u，0，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如图复解16-2-2．当12dff时，10u，这表明P点在1L的右方，对1L来说，它是虚物．由（1）式可知，此时10v，由2211fuvf可知，20u，又由21220uvvu可知，20v，所以此时的光路图如图复解16-2-3．三、参考解答根据题中所给的条件，当圆环内通过电流I时，圆环中心的磁感应强度012Br穿过圆环的磁通量可近似为02BSIr（1）根据法拉第电磁感应定律，电流变化产生的感生电动势的大小02IrttE（2）圆环的电阻02rIRIItE（3）根据题设条件0.05mr，720410NA－－，100AI，61410A/s310A/sIt－－,代入（3）式得23310R－（4）“高中物理参考”收集第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答第4页由电阻与电阻率、导线截面积S、长度L的关系LRS及已知导线的直径1mmd，环半径5cmr，得电阻率2297.510m8SdRRLr－（5）四、参考解答1．双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设运动速率为v，向心加速度满足下面的方程：222/2vGMMLL（1）2GMvL（2）周期2(/2)2LLTLvGM计算＝（3）2．根据观测结果，星体的运动周期1TTTN观察计算计算＝（4）这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用力，按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量M位于中点处的质量点相同．考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v观，则有2222(/2)vGMMMMGLLL观/2（5）(4)2GMMvL观＝（6）因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由（4）式得11vvN观1＝（7）把（2）、（6）式代入（7）式得14NMM（8）设所求暗物质的密度为，则有341324LNM故“高中物理参考”收集第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答第5页33(1)2NML（9）五、参考解答解法一：1．（1）电阻图变形．此题连好的线路的平面图如图预解16-5-1所示．现将电阻环改画成三角形，1、3、5三点为顶点，2、4、6三点为三边中点，如图预解1—5-2与图预解16-5-3所示．整个连好的线路相当于把nD的三个顶点分别接到1nD的三个中点上，图预解16-5-1变为图预解16-5-4．这样第1问归结为求图预解16-5-4中最外层三角环任意两顶点间的等效电阻。（2）递推公式．为使图形简化，讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。由六个阻值为r的电阻构成一个三角环，将其顶点接在另一由六个阻值为R的电阻构成的三角环的中点上（如图预解16-5-5所示）。图预解16-5-6是由六个阻值为R的电阻构成的三角环。若图预解16-5-5顶点1、3间的电阻与图预解16-5-6顶点l、3间的电阻阻值相等，我们称图预解16-5-6中的R为等效单环电阻．“高中物理参考”收集第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答第6页用符号“//”表示电阻的并联，如1//(1/)(1/)BABARRRR由图预解16-5-5中的对称性可知l、3两顶点间的电阻1,3R等于图预解16-5-7中1、0间的电阻1,0R的2倍，即131,0222{[////(2)]}//12//1112432//231433RRRrrRRRRRrrrRRRrRrRRrR，=1//3RrR（1）同理，图预解16-5-6中1、3两顶点间的电阻1,3R为1,342[(2)//]3RRRR（2）由（1）、（2）式得等效单环电阻R为31//44RRrR（3）2.第一问现在考虑把1D、2D、3D、4D、5D按相反的次序，由内向外依次连接的情况．首先将4D接在5D外面，求双环54DD的等效单环电阻(2)R〔即（3）式中的R〕．这时rR．由（3）“高中物理参考”收集第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答第7页式得到(2)R为(2)317//448RRRRR其次，在双环54DD外面接上3D，这时(2)rR．三环534DDD的等效单环电阻(3)R为(3)(2)3131713////4444815RRRRRRRR由此可得一般公式，(1)s环的等效单环电阻1()sR可由sR()求出1()31//44ssRRRR()（4）于是131543313197////4444112RRRRRRRR()()[phone]////4444209RRRRRRRR()()＋由（2）式1,3(4/3)RR得出由一个环（5D）、两个环（54DD）直至五个环（54321DDDDD）构成的线路1、3点间的电阻为(1)1,344'33RRR(2)1,3477386RRR(3)1,34135231545RRR(4)1,349797311284RRR(5)1,341817243209627RRR答：所求的五个环的1与3间的等效电阻确为724627R．证毕。3.第二问根据五个D组成的圆柱形网络的对称性，5D的l、3两点等价于1D的2、4两点．等价线路如图预解16-5-8与图预解16-5-9所示．设二图等价，求图预解16-5-9中的R即可．“高中物理参考”收集第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答第8页(4)1194(2)//(2)156209297RRRRRR所以(5)2,42388//23627RRRRR答：所求值为388627R。解法二：第一问图预解16-5-3可看做5D的接线图，其一半如图预解16-5-10所示，竖直粗线为一短路线．一个环（5D）构成线路的1与0点间的阻值用(1)1,0R表示，根据对称性，(1)(1)1,01,31223RRR。当5D接入4D后，由两个环（类似图预解16-5-5）构成线路图的一半如图预解16-5-11所示．三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形（20'0）中的2与0'间的阻值就是图预解16-5-10中1与0间的阻值(1)1,0R。其等效电路如图预解16-5-12所示．图预解16-5-11（或图预解16-5-12）中的l与0点间的阻值用(1)1,0R表示．有图复解16-5-8图复解16-5-9“高中物理参考”收集第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答第9页(2)(1)1,01,027[(//)]//////312RRRRRRRRRR再将双环54DD接入3D，其一半如图预解16-5-13所示，三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形中含有六个电阻，其2与0'间的阻值就对应为(2)1,0R，参看图预解16-5-12的等效电路，得(3)(2)1,01,0[(//)]//7////122645RRRRRRRRRR同理，得(4)(3)1,01,02697[(//)]//////45168RRRRRRRRRR(5)(4)1,01,097362[(//)]//////168627RRRRRRRRRR由此得(5)(5)1,31,07242627RRR第二问五个电阻环构成线路后，最外层环（1D）上2点与4点间的等效电阻可借用图预解16-5-12求得，将图中(1)2,0'R换成(4)2,0'R，五个环构成的线路中2与4间阻值可如下求得：因(5)(4)2,0'1,0971942////2////168627RRRRRRRR故(5)(5)2,42,0'3882627RRR六、参考解答设所加匀强电场的场强为E，它在y方向和z方向的分量分别为sinyEE，coszEE。由于物块带负电，电场作用于物块的电力的两个分量分别为“高中物理参考”收集第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答第10页sinyyFqEqE（1）coszzFqEqE（2）yF在xy平面内，方向沿y轴正方向．zF垂直于xy平面，被绝缘平面的支持力所平衡，故物块对绝缘平面的正压力的大小N和zF的大小相等，即cosNqE绝缘平面作用于物块的摩擦力tancossinyfNqEqEF（3）f的方向决定