201635高三理解几定点定值存在性问题

1.定点、定值问题1.如图，已知直线L：)0(1:12222babyaxCmyx过椭圆的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线2:Gxa上的射影依次为点D、E。（1）若抛物线yx342的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；（2）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。13422yxC的方程为椭圆；AE与BD相交于定点)0,21(2aN（先探究出定点）2.已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A、(2,0)B、31,2C三点．（1）求椭圆E的方程：（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，(1,0),(1,0)FH，当DFH内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；（3）若直线:(1)(0)lykxk与椭圆E交于M、N两点，问直线AM与直线BN的交点能否在某一条直线上．22143xy；R的最大值为33在准线x=4上3.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，离心率为12，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P作椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l′过点P且垂直于l，交y轴于点B.(1)求椭圆的方程．(2)试判断以AB为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．解：(1)∵2a＝4，ca＝12，∴a＝2，c＝1，b＝3.∴椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)设点P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)，直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，代入x24＋y23＝1，整理，得(3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0.∵x＝x0是方程的两个相等实根，∴2x0＝－8k(y0－kx0)3＋4k2，解得k＝－3x04y0.∴直线l的方程为y－y0＝－3x04y0(x－x0)．令x＝0，得点A的坐标为(0，22000434yxy)．又∵x204＋y203＝1，∴4y20＋3x20＝12.∴点A的坐标为(0，3y0)．又直线l′的方程为y－y0＝4y03x0(x－x0)，令x＝0，得点B的坐标为(0，－y03)．∴以AB为直径的圆的方程为x·x＋(y－3y0)·(y＋y03)＝0.整理，得x2＋y2＋(y03－3y0)y－1＝0.令y＝0，得x＝±1，∴以AB为直径的圆恒过定点(1,0)和(－1,0)．4.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=41x2的焦点，离心率等于552.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA=λ1AF，MB=λ2BF，求证λ1+λ2为定值.解：（I）设椭圆C的方程为)0(12222babyax，则由题意知b=1..5.55211.55222222aaaba即∴椭圆C的方程为.1522yx（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211yMyxByxA易知F点的坐标为（2，0）.分8.1,12).,2(),(,1011111110111yyxyxyyxAFMA将A点坐标代入到椭圆方程中，得.1)1()12(51210211y去分母整理得.0551020121y…………………………………………10分,05510,.05510:,20221202222的两个根是方程可得由同理yxxyBFMB.1021方法二：设A、B、M点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211yMyxByxA又易知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是).2(xky将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得.052020)51(2222kxkxk.51520,512022212221kkxxkkxx又.2,2,,22211121xxxxBFMBAFMA将各点坐标代入得.10)(242)(22221212121221121xxxxxxxxxxxx2.存在性问题1.已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线y=41x2的焦点，离心率等于22.直线l与椭圆Γ交于NM,两点.（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；(Ⅱ)椭圆Γ的右焦点F是否可以为BMN的垂心？若可以,求出直线l的方程；若不可以,请说明理由.．解：（1）设C方程为)0(12222babyax，则b=1..2.222222aaba即∴椭圆C的方程为.1222yx（Ⅱ）假设存在直线l,使得点F是BMN的垂心.易知直线BF的斜率为1，从而直线l的斜率为1.设直线的方程为mxy，代如椭圆的方程，并整理可得0)1(24322bbxx.设),(),,(2211yxNyxM，则mxx3421，322221mxx.于是)1()1(1212yyxxBMNF0)34)(1(3222))(1(2))((2222121212121212121mmmmmmmxxmxxmxmxxxmxxyyxxyx解之得1m或3/4m.当1m时，点B即为直线l与椭圆的交点，不合题意.当34m时，经检验知l和椭圆相交，符合题意.所以，当且仅当直线l的方程为34xy时,点F是BMN的垂心2.在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足.（1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程；（2）过点Q(－2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点)0,174(，且以)1,0(a为方向向量的直线上一动点，满足OBOAON（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解：（1）设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P（x1，y1）是方程x2+y2=4的圆上的任意一点，则).,0(1yP则有：44,2,222211111yxyyxxyyyxx代入即得，轨迹C的方程为.1422yx（1）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点.所以设直线l的方程为y=k(x+2)，与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，N点所在直线方程为.0174x由.0444)4()2(14222222kxkxkxkyyx得由△=.34,0)44)(4(4162224kkkk即.332332k….4)1(4,4422212221kkxxkkxx,OBOAON即OBAN，∴四边形OANB为平行四边形假设存在矩形OANB，则0OBOA，即02121yyxx，即04)(2)1(2212212kxxkxxk，于是有0441622kk得.21k…设17444),,(2221000kkxxxOBOAONyxN得由，即点N在直线174x上.∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为).2(21xy3.已知椭圆2222:1(0)xyCabab2,2的离心率为yxb并且直线是抛物线xy42的一条切线。（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点)31,0(S的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。3．解：（I）由0)42(:4222bxbxyxybxy得消去因直线xybxy42与抛物线相切04)42(22bb1b22222221,,,222cabeabcaaa，故所求椭圆方程为.1222yx（II）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：222)34()31(yx当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：122yx,由101)34()31(22222yxyxyx解得即两圆相切于点（0，1）因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下。当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）若直线L不垂直于x轴，可设直线L：31kxy由01612)918(:12312222kxxkyyxkxy得消去记点),(11yxA、9181691812),,(22122122kxxkkxxyxB则1122(,1),(,1),TAxyTBxy又因为1212121244(1)(1)()()33TATBxxyyxxkxkx所以916)(34)1(21212xxkxxk0916918123491816)1(222kkkkk∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.4.已知定点)01(，C及椭圆5322yx，过点C的动直线与椭圆相交于AB，两点.（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是12，求直线AB的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MBMA为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.AB的方程为310xy，或310xy.；222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkMAMBmmkk2216142.33(31)mmmk注意到MBMA是与k无关的常数，从而有761403mm，，此时4.9MAMB综上，在x轴上存在定点703M，，使MBMA为常数.