2016qt第二章自动控制系统的数学模型(三)-传递函数.

第二章控制系统的数学模型华南理工大学自动化科学与工程学院上节回顾：微分方程模型为什么要建模？对哪类系统建模？线性定常系统模型符合线性齐次叠加原理描述了系统的动态特性本质:时域模型以时间为自变量，各变量之间的依赖关系各变量变化量的大小（变量的增量）各变量的变化趋势（变量的导数）增量化：相对于平衡状态的偏离量以及偏离量的变化率线性化：工作点(x0,y0)附近泰勒级数展开2.3传递函数“三域”模型及其相互关系微分方程时域(t)传递函数复数域(s)频率特性频域()L(s)L-1(s)F()F-1()s=jj=s系统例1求单位阶跃函数x(t)=1(t)的拉氏变换。解：000()()1111ststssXsLxtedteeessss例2求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。解：0000002222000()()111=-011()()1stststststststssssXsLxttedtteedtssteedtssteesseeeesssss例3求正弦函数的拉氏变换。解：sin()/(2)jtjtteej0()()00()()22002121112jtjtstjstjstjstjsteeXsedtjedtedtjessejjjs()sinxttcossin,cossin,jtjteetjttjt例4求函数x(t)的拉氏变换。00,000)(tttttAtxtx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0A+)1()(00ststesAesAsAsX解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)A1(tt0)asesadteesXtsastat11)(0)(0例5求的拉氏变换。解:ate，求x(0)，x()。解：例6若0lim)(lim)(00assssXxssastxL1)(1lim)(lim)0(assssXxss复习拉氏反变换0)()(21)()(1tdtesXjsXLtxjjst1.定义由象函数X(s)求原函数x(t)2.求拉氏反变换的方法①根据定义，用留数定理计算上式的积分值②查表法③部分分式法（积化和差）一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即nnnnmmmmasasasbsbsbsbsDsNsX1111110)()()()())(()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsX通常mn，a1,…,an；b0,…,bm均为实数。首先将X(s)的分母因式分解，则有式中p1,…,pn是D(s)=0的根，称为X(s)的极点。分两种情况讨论：niiinnpscpscpscpscsX12211)()()()()(式中ci是待定常数，称为X(s)在极点si处的留数。)()(limsXsscissiinitpiniiiiecpscLsXLtx1111)()]([)(（2）D(s)=0有重根。设有r个重根p1，则nriiirrrnrrpscpscpscpscpspspssNsX111121111)()()()()()()()()(（1）D(s)=0无重根。1[]atesaL)]()[(lim!111)1()1(1sXpsdsdrcrrrpsr)()(limsXpscipsiii=r+1,…,nnritpitprrrriecectctrctrcsXLtx11221111)!2()!1()]([)()]()[(lim111sXpscrps)]()[(lim121sXpsdsdcrps)]()[(lim!211)2()2(31sXpsdsdcrps…例7，求原函数x(t)。解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)13)1)(3(2)(21scscssssX2112lim)()3(lim331sssXscss2132lim)()1(lim112sssXscss1311111()()23212ttxtLeess342)(2ssssX223)(2ssssX的原函数x(t)。例8求解：s2+2s+2=(s+1)2+1=(s+1+j)(s+1j)123()1111sccXssjsjsjsj11134lim1()12sjjssjcsjXssjj21134lim1()12sjsjsjcsjXssjjtteejjejjsXLtxttjtjsin4cos2424)()(1111)1(41)1(1)(22ssssX121)(3lim34sXscs32)(lim03ssXcs211121lim1()(3)2ssscsXsss212212(3)(2)(23)3lim1()(3)4ssdsssscsXsdsss3313211321()()2431222312tttttxteteeete的原函数x(t)。解：例9求22()(1)(3)sXssss31)1()(43221scscscscsX2.3传递函数RCTtRitudttduTscc57)-(2)()()(微分方程：2.3.1线性系统传递函数的概念和定义()()(0),()(),()()()(0)()()cccscscscccdutLsUsULutUsLitIsdtTsUsTUUsRIs()=()(0)11cscRTUsIsUTsTs输出信号的拉式变换与输入信号拉式变换的关系：11()[()][()(0)]11cccsRTutLUsLIsUTsTs2.3传递函数c(0)0()()(259)1csURUsIsTs零初始条件下，即，拉氏变换得：61)-(21)()()(TsRsIsUsGsc传递函数：)(sIs)(sUc)(sG60)-(2)](1[)]([)(11sITsRLsULtuscc可见，输入与输出之间的关系仅取决于电路的结构形式及其参数（固有特性）,与输入的具体形式无关，无论输入如何，系统都以相同的传递作用输出信息或能量，因此称之为传递函数。传递函数：在零初始条件下，线性系统输出变量的拉普拉斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比。65)-(2)()()(64)-(2)()()()(011n1nnn011m1mmm011m1mmm011n1nnnasasasabsbsbsbsUsYsGsUbsbsbsbsYasasasa传递函数：则：62)-(2)()()()()()()()(0111101111tubdttdubdttudbdttudbtyadttdyadttydadttydammmmmmnnnnnn2.3传递函数零初始条件下，各阶导数在零时刻都为0,有：转速负反馈直流调速系统的传递函数1.列写微分方程；2.考虑初始条件(取0)，求取各环节拉氏变换；3.合并，求输出与输入的拉氏变换之比muamcmuamcTsssKUsKMsTssKUsKMs()()()()(1)()()()48)-(2)()()()(tMKtuKtdttdTcMaum，根轨迹法中常用。称增益,传递函数的极点;分母多项式的零点:传递函数的零点;分子多项式的零点:式中,nmgliabKpz零、极点表示的形式66)-(2)()()())(()())(()(11212101110111nllmiignmgnnnmmmnmpszsKpspspszszszsKcscscsdsdsdsabsG2.3.2传递函数的常用表现形式为传递系数。：通常有量纲，称；分母各因子的时间常数；分子各因子的时间常数KTli:67)-(2)1()1()1()1)(1()1()1)(1(11)(11212111111100nllmiinmnnnnmmmmsTsKsTsTsTsssKscscscsdsdsdabsG0011()mngililbKKzpa时间常数表示的形式静态放大系数KsGGs)(lim)0(02.3.2传递函数的常用表现形式若考虑有v个等于0的极点情况，并划分实数极点和共轭复数极点时，69)-(2)12()1()1()(2122111111nvnnvnvllllnvvllmiivsTsTsTssKsG68)-(2)2()()()(2122111111nvnnvnvllllnvvljmiivgsspszssKsG确定随动系统的稳态误差系数振荡响应的共轭极点对。2.3.2传递函数的常用表现形式线性常系数微分方程的求解微分方程式r(t)c(t)求解代数方程时域解c(t)Ls的代数方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)L-1线性常系数微分方程的求解1110111101()()()()()()()()(2-62)nnnnnnmmmmmmdytdytdytaaaaytdtdtdtdutdutdutbbbbutdtdtdt1,0()0,0tutt其中：()1(),()()mm1mm110nn1nn110bsbsbsbYsGsUsUsasasasas如何求解y(t)?解：)()(sUsGsY)()(1sYLty系统输出：典型输入+典型环节2.3.3典型输入及其拉氏变换1,01()0,0ttt011()1()stLttedts)72-2(0,00,)(ttttr73)-(21)(2strL典型输入：测试常用的输入信号，可构成其他复杂信号。典型输入：阶跃、斜坡、抛物线、脉冲、正弦单位阶跃函数单位斜坡函数注意图形！！！2.3.3典型输入及其拉氏变换单位抛物线函数单位脉冲函数，-函数74)-(20,00,21)(2ttttr75)-(21)(3strL76)-(2)(lim)(0tttttt,00,10,0)(1)(dttS-函数的强度，即冲量定义为:1)(tL正弦输入：tsin22sinstL注意图形！！！常用测试输入信号测试输入信号：输入系统，测试系统性能方便数学上的分析和处理；便于实际物理系统的测试，即测试输入信号易于通过实验仪器产生。稳定性，稳态误差扰动，稳定性单位抛物线函数1/2t21/s3正弦信号sinωtω/(s2+ω2)测试系统的频率特性响应。简单的输出响应求解法——分部分式法例2-9，输入激励为单位阶跃输入，求输出响应)1()(1)()(TssRsI