2014年7月龙游中学云课堂高三专项突破必考问题2函数与方程及函数的实际应用(讲稿教师版)

必考问题2函数与方程及函数的实际应用1．高考定位高考对本部分的考查有：(1)①确定函数零点及函数零点的个数；②根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围．(2)函数与向量、数列、不等式、解析几何等知识综合考查函数的基本性质．(3)函数的实际应用问题．对函数零点问题及用函数解决实际应用问题的考查是显性的，而队运用函数思想解决问题和函数与其他知识综合问题的考查是隐性的。题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．2.必备知识与方法2.1零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．2.2应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．对函数零点问题，常用的处理方法有：（1）直接解方程；（2）利用零点存在定理判断；（3）运用化归与转化思想和数形结合思想处理()0fx的根()()gxhx的根函数()ygx和函数()yhx图像交点的横坐标。3．典型例题分析3.1确定函数零点及函数零点的个数【例1】函数221(0),()ln(0)xxxfxxx与函数()2gx图像交点的个数为()A．0B．1C．2D．3方法一：直接作出两个函数的图像，看交点个数；方法二：令()()()hxfxgx，则223(0),()ln2(0)xxxhxxx直接解方程()0hx；方法三：利用零点存在定理判断函数()yhx的零点。【突破训练1】(1)(唐山市2013学年高三第一学期期末)(x)2sinxx1f的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7(2)（太原五中2014届高三12月月考）若函数yfxxR满足2fxfx且1,1x时，21fxx，函数lg010xxgxxx，则函数hxfxgx在区间5,5内的零点的个数为（）A．7B．8C．9D．10【解析】当1,1x时，()fx是一段开口向下的抛物线，y的最大值为1，∵2fxfx，∴()fx是以2为周期的周期函数，()fx和()gx图像如图所示，有8个交点，所以函数()hx有8个零点.变式：若函数yfxxR满足2fxfx且1,1x时，21fxx，函数()lggxx。问：（1）函数()yfx和函数()ygx图像上关于y轴对称的点有几对？（2）函数()yfx和函数()ygx图像上关于原点对称的点有几对？3.2根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围【例2】已知实数p,q,r满足qpr2，qprr)1(且210qp，则实数r的取值范围是。【解析】由题意得p，q是方程0)1(22rrxrx的两相异实根，令)1()(22rrxrxxf，则0)2(0)1(0)0(fff，得21171r【突破训练2】已知函数xxxf21lg有两个零点1x，2x，则有().A021xx.B121xx.C121xx.D1021xx【例3】已知a是实数，函数2()223fxaxxa，如果函数()yfx在区间1,1上有零点，求a的取值范围．【解析】当a＝0时，f(x)＝2x－3，其零点x＝32不在区间[－1,1]上．当a≠0时，函数f(x)在区间[－1,1]分为两种情况：①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时0(1)(1)(5)(1)0ffaa或01112a解得1≤a≤5或a＝－3＋72.②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时a＞0，Δ＝8a2＋24a＋4＞0，－1＜－12a＜1，f，f－或a＜0，Δ＝8a2＋24a＋4＞0，－1＜－12a＜1，f，f－，解得a≥5或a＜－3＋72.综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a的取值范围为－∞，－3＋72∪[1，＋∞)．3.3函数与向量、数列、不等式、解析几何等知识综合考查函数的基本性质【例4】（2013上海春季高考）已知真命题:“函数()yfx的图像关于点()Pab、成中心对称图形”的充要条件为“函数()yfxab是奇函数”.(1)将函数32()3gxxx的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数()gx图像对称中心的坐标;(2)求函数22()log4xhxx图像对称中心的坐标;(3)已知命题:“函数()yfx的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数()yfxab是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).【解析】(1)平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2yxx,整理得33yxx,由于函数33yxx是奇函数,由题设真命题知,函数()gx图像对称中心的坐标是(12)，.(2)设22()log4xhxx的对称中心为()Pab，,由题设知函数()hxab是奇函数.设()(),fxhxab则22()()log4()xafxbxa,即222()log4xafxbax.由不等式2204xaax的解集关于原点对称,得2a.此时22(2)()log(22)2xfxbxx，，.任取(2,2)x,由()()0fxfx,得1b,所以函数22()log4xhxx图像对称中心的坐标是(21)，.(3)此命题是假命题.举反例说明:函数()fxx的图像关于直线yx成轴对称图像,但是对任意实数a和b,函数()yfxab,即yxab总不是偶函数.修改后的真命题:“函数()yfx的图像关于直线xa成轴对称图像”的充要条件是“函数()yfxa是偶函数”.【例5】已知向量ba,满足22ba，则ba的最小值为（）A．21B．21C．1D．1【解析】设2,2tbat，则bta2，所以2188)4(2)2(222tttbbbtba，故选B【突破训练3】（1）已知,ab均为单位向量，且它们的夹角为60°，当||()abR取最小值时，___________；（2）(福建六校2013学年第三次联考】对于三次函数32()fxaxbxcxd（0a），给出定义：设()fx是函数()yfx的导数，()fx是函数()fx的导数，若方程()0fx有实数解0x，则称点00(,())xfx为函数()yfx的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212fxxxx，请你根据上面探究结果，计算)20141(f+)20142(f…+)20142012(f+)20142013(f=__________.3．4函数的实际应用问题【例6】（2014高考湖南卷理8）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A．2pqB．(1)(1)12pqC．pqD．(1)(1)1pq【解析】设两年的平均增长率为x,则有2111xpq111xpq,故选D.【例7】【2014福建三明】（本小题满分12分）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图像，当0,12x时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点(10,80)A，过点(12,78)B；当12,40x时，图像是线段BC，其中(40,50)C，根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.（1）试求yfx的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.