2016五一联赛A题

2016年第十三届五一数学建模联赛编号专用页竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：评阅记录评阅人评分备注裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）：2016年第十三届五一数学建模联赛题目A题：购房中的数学问题摘要影响消费者选购住房的有平均日照时间、价格、交通、环境和噪音等多方面因素，其中最重要的自然因素莫过于日均采光时间，我们通过建立影子随时间变化的物理模型，给出了一种基于离散思想的日均采光时间的计算方法，并以东经117.17o，北纬34.18o处一高层建筑小区的14-2-802房间(客厅)为例，分别求得其冬至日9:00-16:00间可以享受日照的时间区间为：9:00-10：20和12：40-1:32和15:36-16：00，全年365天每一天可以享受日照的累计时间为：208110分钟，全年享受日照时间超过6小时的天数和日期为：2月25号到10月16共计235天，并在仅考虑采光影响的条件下给出最优选房方案为：基于以上采光时间的计算结果并结合其他多方面因素，我们建立了个性化选房模型。针对问题一：由于题设前提不考虑天气等影响日照的因素，因此临近的高层建筑的遮挡是唯一影响采光时间的因素，因此我们建立了障碍物影长随时间变化的物理模型，为避免公式推导太阳及影子变化轨迹引起计算繁琐的情况，我们考虑将太阳位置离散化处理，在保证精度的前提下大幅度简化了运算，据此计算出一日内任意时刻的太阳高度角及太阳方位角，继而根据障碍物高度，楼宇间距等数据计算出其冬至日9:00-16:00间可以享受日照的时间区间为：9:00-10：20和12：40-1:32和15:36-16：00针对问题二：对同一房间，一年内可能遮挡它的建筑物是固定的，而障碍物的影长随太阳高度角，赤纬角的变化而变化；因此我们根据赤纬角随日期的变化公式，计算了一年内每一天的太阳高度角和赤纬角，带入问题一的模型并求和，即可描述出全年365天每一天可以享受日照的累计时间为：2月25到10月16共计235天针对问题三：跟据问题仅考虑采光影响前提，我们通过提取小区住宅楼的布局关系，建立了各楼层互相遮挡的关系矩阵，代入问题二的模型得到小区内18栋楼每一层的年日照累计和，结合附件2的已售楼房信息，我们可以确定一批最优选房方案。针对问题四：我们根据小区平面图对小区各个影响买房的方面做了评估，利用反复取交集的方法为客户选择房子。最终为高层偏好的人选择了9号楼33层，中层偏好的人选择9号楼13层，低层偏好的人选择了5号楼1层。针对问题五：通过以两个电梯出口为原点建立空间坐标系，计算车位到电梯口的距离和此车位住户到电梯口的距离，发现并不符合最长和最短距离的结合原则，则车位安排不合理。对于安排车位，我们将充分考虑各种因素，包括低层住户长时间等待时是否乘坐电梯，多种电梯的运行模式的选择，出电梯口时距离电梯口的最近车位，车位与住户楼层的最短路距离，得出最优车位。关键字：影子变化物理模型离散化处理个性化选房模型电梯控制策略最短路1一、问题重述当我们买房时，房子的选择是一件很头疼的一件事，地理位置、周边环境、交通便利性、住房户型、住房价格、采光、噪音污染、空气污染等因素影响我们的选择，同时开发商总会追求利润的最大化，所以现在高楼林立，面对现在的高层建筑，选房的问题变得更加复杂，针对东经117.17o，北纬34.18o地理位置的高层建筑，不考虑天气的影响，正确解决购房问题。问题一，解决A小区14-2-802房间(客厅)在冬至时特定时间段可以享受到日照的时间段结合附件1和4得出正确结果。问题二，描绘A小区14-2-802房间(客厅)全年日照累计时间，并得出该房间全年日照时间超过六小时的天数和具体日期。问题三，在部分房间已售出的情况下，仅考虑光照条件，给消费者提供最佳选房方案。问题四，在考虑日照条件下，结合价格、交通、环境和噪音的影响，给出此时消费者C最优选房方案。楼价在不同楼层相应有所不同，周围环境，北侧有一条河流，并有若干配套设施：地铁，铁路，国道，发电烟囱。综合各种因素得出最佳选房方案。问题五，该小区已建成地下停车场，建立合理模型验证该停车场是否合理，如果不合理重新设置该停车位。附件三中方格第一行是车位号，第二行是对应的房间号二、问题分析问题一的分析在题设前提条件（不考虑天气因素）下，14-2-8-2房间可以享受日照的时间区间仅受前方障碍物遮蔽的影响，根据附件住宅楼分布情况分析，#7和#8楼有可能遮挡#14楼。障碍物的阴影位置与障碍物的尺寸，楼宇密度（前后楼间距），太阳方位，太阳高度等因素有关，其中障碍物尺寸和建筑密度可从附件查得，太阳方位角和太阳高度角可由相关公式推导得到，进而可以建立楼宇遮光时间的物理模型，求得可以获得日照的时间区间。问题二的分析相比于问题一，问题二需要考虑日期的变化；根据相关天文学知识，赤纬角随每年积日数近似的周期变化，进而影响日出日落时间和太阳高度角。因此我们考虑将365天每天的赤纬角值代入第一问的模型并求和，即可较精确的得出一年内享受日照的累计时间。随着赤纬角每年的连续性变化，每日日照时间必定是连续变化，且在夏至日最长（6h），冬至日最短（6h），因此在夏至与冬至日间使用二分搜索算法，即可快速确定6小时日照时间的分解日期，求得每日日照时间超过6小时的日期及天数。问题三的分析相对于问题二，我们需要考虑小区内每一栋楼的每一层的光照时间，因此我们分析并简化了小区住宅楼的相对位置关系，将楼层（1-34）也作为变量代入问题二的模型，即可得到任一栋楼的任一层的年受光累计时间；根据采光因素优先的前提，结合附件二的销售情况，我们即可给出消费者选房的最优方案。2问题四的分析问题四要求我们考虑价格，交通，环境与噪音的影响，给出消费者c的最优选房方案。其中价格主要与楼层和是否是河景房有关，交通主要与离车库远近，离地铁远近有关，环境主要与离发电厂和河流远近有关，噪音主要与离马路和高架远近有关。由于权重带有很大主关性，我们买房时总是想所有条件都满足，如果不行的话就退而求其次，在从其中选择最好的。有一些论文可知，用户楼层的选择也反应了用户的偏好。问题五的分析针对车位安排是否安排合理，首先建立空间直角坐标系，并以出楼梯口为原点，通过将车位和各住户的高度确定在同一坐标系上，计算图中所给车位到坐标系的距离和楼层的距离，则最佳车位位同事去的最小，将车位的距离做升序排列楼层的高度作降序排列，则最佳排序为两者之和。针对合理安排车位，我们将充分考虑各种因素，包括低层住户长时间等待时是否乘坐电梯，电梯的运行模式的选择，出电梯口时距离电梯口的最近车位，车位与住户楼层的距离，得出最优车位。三、模型假设1对各个房子的影响因素的评价是正确的。2上班高峰期时各楼层乘客充足。3楼房的倾斜形状对太阳影子没有影响。4楼房的厚度对太阳影子没有影响。5地球是球形的。6天气对太阳没有影响。7太阳高度角是15度时，光线才足够量。8大气层对太阳光线影响忽略。四、符号说明符号含义H太阳高度角太阳赤纬地球纬度0t时角A太阳方位角s太阳位置o地球中心'HH该地的水平面'EE赤道b楼层高度1T电梯运行时间x坐标轴3y坐标轴z坐标轴til车位到坐标轴原点的距离tiz楼层到坐标轴原点的距离k电梯乘客数极限五、模型建立与求解5.1问题一的模型建立与求解5.1．1问题一的模型建立5.1．1．1太阳高度角H的计算太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面的夹角。我们假设太阳光是不存在折射的平行光[1]，参考资料得出太阳高度角H的计算公式；sinsinsincoscoscosHt式中，太阳赤纬用表示，地理纬度用表示（太阳赤纬和地理纬度都是北纬为正，南纬为负），地方时角用t表示。日出或日末的时刻，可有式取0H,而求得其时角0t，即得：0sinsincostantancoscost图一太阳高度角示意图又日出或日末似的太阳方位角0可取0H，即得：00sincossint求得太阳高度角H，即得：180(90)90()H4图二太阳直射点纬度与高度角关系示意图s太阳位置；o地球中心；纬度；H正午太阳高度角；'HH该地的水平面；'EE赤道5.1．1．2太阳赤纬角的计算太阳赤纬及太阳直射点纬度，查阅资料得到赤纬角的计算方式；0.3723+23.2567sin0.1149sin20.1712sin30.7580cos0.3656cos20.0201cos3式中，称谓日角，即2=365.224。而由两部分组成，即0=NN,其中，N为积日，即当天日起到当年一月一日的天数；**0=79.6764+0.24221985N（N-1985）-INT[(N)/4]5.1．1．3时角的计算时角为OP线在地球赤道平面上的投影与当地时间12点时地中线与赤道平面上的投影之间的夹角。00tsTT式中，其中0s是当天平时的恒星0640356hmmssd，元旦子夜时的恒星时是640hm，d是从元旦起算的天数。0T是当时北京时间，120T是当地的地理经度与东经120的差，是恒星的赤经。5.1．1．4太阳方位角A的计算cossinasin()cosAHA太阳方位角；H太阳高度角；太阳的赤纬；太阳的时角5.1．1．5遮光区域的求解的计算5arctaniHsis楼间距；H太阳高度角得到太阳方位角和太阳高度角可以在天穹上确定太阳的位置[2]，则障碍物在地面上的影子可以由投影定理的出。但考虑到物体影子不但有长度变化还有方位变化，如下图(三-C)正方形物体在地面上的影子范围变化示意图，其大小方位受日期，时间，维度等因素影响，转化为数学表达很繁杂；其次考虑从观测点视角看障碍物ABCD，在天穹面上得到阴影部分，当太阳处于阴影部分时即被遮住，但阴影部分为空间曲面，几何关系复杂，求其与太阳轨迹方程的解析解较为复杂。不利于求解。我们考虑将太阳位置离散化，以1分钟为步长，如下图(三-D)计算太阳位置，在空间坐标系中求目标点M与太阳连线的直线方程，将楼宇间距y代入直线方程，可解得一高度值h，通过对比h与障碍物的高度H即可快捷判断此时此刻太阳是否被障碍物遮住[3]，通过计数被太阳遮盖点的个数即可推算出某日光照时长与光照时间范围其次：对于目标楼层n，以其为原点建立的坐标系中障碍物的高度会相对减少n层，当太阳不处于天穹阴影的边界角内时，太阳即使低于障碍物也不会被遮挡。ABCD图三阴影部分示意图65.2数据的处理与分析利用matlab编写程序解得当位于视野角范围内比较与78.3米的差。78.3当0时没有遮光，当0时遮光，通过matlab得出结果为日照时间为9:00-10：20和12：40-1:32和15:36-16：005.2问题二的模型建立与求解通过简化图得到高楼iA受到前方区域影响的视野角图四高楼遮挡视野角图表一各个楼的遮盖关系表视野角范围轴线距离(m)视野角范围轴线距离(m)2F3F-73°51°54.26711F4F-24°-9°170.2573F4F-79°-67°62.79112F3F22°38°145.7525F6F-73°-66°68.45412F4F-3°14°153.9527F17F-6°41°54.29612F7F-61°-48°72.4747F18F-44°-19°82.99412F17F-34°-17°127.8778F17F56°74°86.11313F7F-28°14°58.0388F18F-8°40°52.58613F8F-51°-32°97.779F1F-14°14°95.9814F7F34°59°86.2239F2F-47°-31°125.0314F8F-14°21°74.92810F1F30°47°126.34817F4F57°72°75.99510F2F-14°14°97.6917F5F-25°26°48.7910F3F-24°-19