2016圆锥曲线与导数模拟精选

19．（本题满分15分）已知椭圆C：22ax＋y2b2＝1(ab0)的左右焦点为F1,F2，离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A,B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设.（Ⅰ）若l=34，求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若DPF1F2为等腰三角形，求l的值.19．（本小题满分15分）如图,已知椭圆C：)0(12222babyax的上顶点为(0,1)A,离心率为32.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点A作圆2221:ryxM10r的两条切线分别与椭圆C相交于点,BD(不同于点A).当r变化时,试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.19．（本小题满分为15分）解：（Ⅰ）由已知可得,2221,3,2,12,bcabaabc,所求椭圆的方程为2214xy---------------------------5分（Ⅱ）设切线方程为1ykx，则2|1|1krk，即222(1)210rkkr，设两切线,ABAD的斜率为1212,()kkkk，则是上述方程的两根，所以121kk；------------------------------------8分由22114ykxxy得：22(14)80kxkx，所以211112211814,1414kkxykk，同理可得：222121222222212188144,144144kkkkxykkkk，-----------------12分所以221122211111122114144141883414BDkkkkkkkkkkk，12,kk(第19题图)yDBMOAx于是直线BD方程为22111221111418()14314kkkyxkkk，令0x，得2221111222111114185205143143(14)3kkkkykkkk，故直线BD过定点5(0,)3.----------------------------15分20.（本小题满分12分）已知F（21，0）为抛物线pxy22（p＞0）的焦点，点N（0x，0y）（0y＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且|NF|=25，2NBNAkk。（Ⅰ）求抛物线方程和N点坐标；（Ⅱ）判断直线l中，是否存在使得MAB面积最小的直线'l，若存在，求出直线'l的方程和MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数1()ln,()()afxxaxgxaRx.（Ⅰ）设函数()()()hxfxgx，求函数()hx的单调区间；（Ⅱ）若不等式()fx≤()gx在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，求实数a的取值范围.20.（1）由题意212p，则1p，故抛物线方程为xy22。由|NF|=2520px，则4,2200yx。∵00＞y，∴20y，所以N（2,2）。（4分）（2）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线l的方程为btyx。联立方程组btyxxy22，得0222btyy。设两个交点A（221y，1y），B（222y，2y）（1y≠±2，2y≠±2），则.2,2,08421212byytyybt＞（6分）由2)2)(2(422222221222211yyyyyykkNBNA，整理得32tb。（8分）此时，0)64(42＞tt恒成立。故直线l的方程可化为)2(3ytx，从而直线l过定点E（3，-2）。（9分）因为M（2，-2），所以M,E所在直线平行x轴，所以△MAB的面积2)2(64212221tttyyMES当t=-2时有最小值为2，此时直线'l的方程为012yx。（12分）解法二：（2）当l的斜率不存在时，:2lx（舍）或3x，此时△MAB的面积6s当斜率存在时，设:lykxb---------------------------6分22222(22)0yxkxkbxbykxb，212122222,kbbxxxxkk121222,byyyykk121222222NANByykkxx得226(52)4032kbkbbk或22bk舍-----------9分点M到直线的距离21kdk，22222211221164kkbkkkABkk222164114622kkSABdkkk----------------------------------11分综上，所以△MAB的面积最小值为2，此时12k直线'l的方程为012yx--------------------12分21.(1)1()lnahxxaxx,定义域为（0，+∞），2222(1)(1)1(1)()1xxaaaxaxahxxxxx……………………2分①当10,a即1a时，令()0hx，0,1,xxa令()0hx，得01,xa故()hx在(0,1)a上单调递减，在(1,)a上单调递增……………………3分②当10,a即1a时，()0hx恒成立，()hx在（0，+∞）上单调递增。……………………4分综上，当1a时，()hx的单调递减区间为(0,1)a，单调递增区间为(1,)a。当1a时，()hx的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间。……………………5分（2）由题意可知，不等式()fx≤()gx在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，即在[1，e]存在0x使得00()()fxgx成立，由（1）中()()()hxfxgx，则在[1，e]存在0x使得000()()()0hxfxgx即函数1()lnahxxaxx在[1，e]上的最小值min()0hx……………………6分由（1）知，当1a时，()hx在[1，e]上单调递增，min()(1)20,2hxhaa7分当1a时①当1,ae即1ae时，()hx在[1，e]上单调递减，2min11()()0,,1aehxheeaaee22111,;11eeeaee……………………9分②当011,a即10a时，()hx在[1，e]上单调递增，min()(1)20,2hxhaa,无解……………………10分③当11,ae即01ae时，()hx在1,1)a上单调递减，在1,ae上单调递增min()(1)2ln(1),hxhaaaa此时min()0hx，不合题意。……………………11分综上可得，实数a的取值范围是211eae或2a……………………12分20、（本小题满分12分）设抛物线28yx的交点为F，定直线:4lx，P为平面上一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且(2)(2)0PQPFPQPF（1）求点P的轨迹C的方程；（2）直线l是圆222:Oxyr的任意一条切线，l与曲线C交于A、B两点，若乙AB为直径的圆横过原点，求圆O的方程，并求出AB的取值范围。21、（本小题满分12分）已知函数2,ln11axbxfxgxxx，曲线yfx在点(1,(1))f处的切线方程是5410xy（1）求,ab的值；（2）若当0,x时，恒有fxkgx成立，求k的取值范围；（3）若522361，试估计5ln4的值（精确到0.001）(1)f(x)=ax2+2ax+b(x+1)2由题意：f(1)=3a+b4=54f(1)=a+b2=32解得：a=1,b=2………………3分由（1）知：f(x)=x2+2xx+1由题意：，x2+2xx+1-kln(1+x)≥0令F(x)=x2+2xx+1-kln(1+x)则F(x)=1+1(1+x)2-k1+x………………5分解法一：F(x)=1+1(1+x)2-k1+x=x2+(2-k)x+2-k(1+x)2令△=（2-k）2-4(2-k)=(k-2)(k+2)(1)当△≤0即-2≤k≤2时，x2+(2-k)x+2-k≥0恒成立，所以F(x)≥0∴F（x）在x[0,+∞)上单调递增∴F（x）≥F（0）=0恒成立即f(x)≥kg(x)恒成立∴-2≤k≤2时合题意(2)当△0即k-2或k2时，方程x2+(2-k)x+2-k=0有两解x1=k-2-k2-42,x2=k-2+k2-42此时x1+x2=k-2,x1x2=2-k①当k-2时,x1x2=2-k0,x1+x2=k-20∴x10,x20∴F(x)=(x-x1)(x-x2)(1+x)20∴F（x）在x[0,+∞)上单调递增∴F（x）≥F（0）=0恒成立即f(x)≥kg(x)恒成立∴k-2时合题意②当k2时,x1x2=2-k0,∴x10,x20∴F(x)=(x-x1)(x-x2)(1+x)2∴当x(0,x2)时，F(x)0,∴F（x）在x(0,x2)上单调递减∴当x(0,x2)时，F（x）F（0）=0这与F（x）≥0矛盾，∴k2时不合题意综上所述，k的取值范围是（-∞,2]………………8分解法二：F(x)=1+1(1+x)2-k1+x=11+x(1+x+11+x-k)①∵1+x+11+x≥2,∴当k≤2时,F(x)≥0∴F（x）在x[0,+∞)上单调递增∴F（x）≥F（0）=0恒成立即f(x)≥kg(x)恒成立∴k≤2时合题意②当k2时,令F(x)=0得x10x2,结合图象可知，当x(0,x2)时，F(x)0,∴F（x）在x(0,x2)上单调递减(其中x2=k-2+k2-42）∴当x(0,x2)时，F（x）F（0）=0这与F（x）≥0矛盾，∴k2时不合题意综上所述，k的取值范围是（-∞,2]………………8分-12y=kx2x1-12y=kx2x1（3）由(2)知：当k≤2时，x2+2xx+1≥kln(1+x)在x≥0时恒成立取k=2，则x2+2xx+1≥2ln(1+x)即：(x+1)2-1x+1≥2ln(1+x)令x=54-10得：2ln5454-154∴ln54510≈0.2236………………10分由(2)知：当k2时，x2+2xx+1kln(1+x)在(0,k-2+k2-42)时恒成立令k-2+k2-42＝54-1解得：k=9510∴x2+2xx+19510ln(1+x)在x(0,k-2+k2-42)上恒成立取x=54-1得：54-1549510ln54∴ln5429≈0.2222∴ln54=0.2236+0.22222=0.2229∵精确到0.001∴取ln54=0.223………………12分20.已知1F，2F分别是椭圆E：22221(0)xyabab的左右焦点，P是椭圆E上的点，且2PFx轴，212116PFPFa．直线l经过1F，与椭圆E交于A，B两点，2F与A，B两点构成△2ABF．（1）求椭圆E的离心率；（2）设△12FPF的周长为23，求△2ABF的面积的最大值．21.设函数()(1)ln(1)fxaxxbx，其中a，b是实数．已知曲线()yfx与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）当01x时，关于x的不等式()0fx恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：1000.41001()1000e．20．解：（1）设点P在第一象限，则2(,)bPca，21(2,)bPFc