2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件第八章解析几何第八节曲线与方程

第八节曲线与方程基础盘查曲线与方程(一)循纲忆知了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．(二)小题查验1．判断正误(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件()(2)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”，则条件甲是条件乙的充要条件()(3)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线()(4)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线()√×××2．(人教B版教材习题改编)MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(－1,0)和B(1,0)的连线，则使∠AMB为直角的动点M的轨迹方程是__________________．x2＋y2＝1(x≠±1)3．平面上有三个点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为________．解析：AB＝2，－y2，BC＝x，y2，由AB⊥BC，得AB·BC＝0，即2x＋－y2·y2＝0，∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.y2＝8x4．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_______________.解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．x24＋y23＝1(y≠0)考点一直接法求轨迹方程(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．坐标法(直接法)求曲线方程的步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化f(x，y)＝0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．[提醒]在实际处理问题时，可以省略第(5)步．遇到某些点虽然适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．[题组练透]1．|y|－1＝1－x－12表示的曲线是()A．抛物线B．一个圆C．两个圆D．两个半圆解析：原方程|y|－1＝1－x－12等价于|y|－1≥0，1－x－12≥0，|y|－12＝1－x－12⇒|y|－1≥0，x－12＋|y|－12＝1⇒y≥1，x－12＋y－12＝1或y≤－1，x－12＋y＋12＝1.2．(2015·深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ，则动点P的轨迹C的方程为()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4x解析：设点P(x，y)，则Q(x，－1)．∵QP·QF＝FP·FQ，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.3．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________________________．解析：由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝yx＋1·yx－1＝λ，整理得x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)．即动点P的轨迹C的方程为x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)．x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)[类题通法]1．直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．2．由曲线方程讨论曲线类型的关键是确定参数的分段值．参数分段的确定标准，一般有两类：(1)二次项系数为0的值；(2)二次项系数相等的值．考点二定义法求轨迹方程(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．[典题例析]如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1,0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.(1)求曲线M的方程；(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．解：(1)由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)．设曲线M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0，y≠0)，则a2＝4，b2＝a2－|AB|22＝3，所以曲线M：x24＋y23＝1(y≠0)为所求．(2)如图，由题意知直线BC的斜率不为0，且过定点B(1,0)，设lBC：x＝my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由x＝my＋1，3x2＋4y2＝12消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，所以y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4.因为AC＝(my1＋2，y1)，AD＝(my2＋2，y2)，所以AC·AD＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝－9m2＋13m2＋4－12m23m2＋4＋4＝7－9m23m2＋4.因为点A在以CD为直径的圆上，所以AC·AD＝0，即m＝±73，所以直线BC的方程为3x＋7y－3＝0或3x－7y－3＝0.[类题通法]1．运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．2．定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．[演练冲关]已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，则有|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.又|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2，即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2＜|C1C2|＝6，|MC2|＞|MC1|，故动圆圆心M的轨迹为以定点C2，C1为焦点的双曲线的左支，则2a＝2，所以a＝1.又c＝3，则b2＝c2－a2＝8.设动圆圆心M的坐标为(x，y)，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．考点三代入法求轨迹方程(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．若动点P(x，y)所满足的条件不易表述或求出，但随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，且动点Q的轨迹方程给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得点P的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法，也称代入法．2．用相关点法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x′＝f(x，y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知曲线方程．求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题.[典题例析](2015·广州模拟)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足PD＝2MD，动点M形成的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知点E(1,0)，若A，B是曲线C上的两个动点，且满足EA⊥EB，求EA·BA的取值范围．解：(1)法一：由PD＝2MD知点M为线段PD的中点．设点M的坐标是(x，y)，则点P的坐标是(x,2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2＋(2y)2＝4.所以曲线C的方程为x24＋y2＝1.法二：设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，由PD＝2MD，得x0＝x，y0＝2y.因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4.①把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4.所以曲线C的方程为x24＋y2＝1.(2)因为EA⊥EB，所以EA·EB＝0.所以EA·BA＝EA·(EA－EB)＝2EA.设点A(x1，y1)，则x214＋y21＝1，即y21＝1－x214.所以EA·BA＝2EA＝(x1－1)2＋y21＝x21－2x1＋1＋1－x214＝34x21－2x1＋2＝34x1－432＋23.因为点A(x1，y1)在曲线C上，所以－2≤x1≤2.所以23≤34x1－432＋23≤9.所以EA·BA的取值范围为23，9.[类题通法]代入法求轨迹方程的关键是寻找所求动点与已知动点间的等量关系．常涉及中点问题、三角形重心问题及向量相等或向量间关系等知识．[演练冲关]已知F1，F2分别为椭圆C：x24＋y23＝1的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为()A．x236＋y227＝1(y≠0)B．4x29＋y2＝1(y≠0)C．9x24＋3y2＝1(y≠0)D．x2＋4y23＝1(y≠0)解析：依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得x＝x0－1＋13，y＝y03.即x0＝3x，y0＝3y.代入x204＋y203＝1得重心G的轨迹方程为9x24＋3y2＝1(y≠0)．“课后演练提能”见“课时跟踪检测(五十七)”(单击进入电子文档)谢谢观看