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第4课时(小专题)带电粒子在复合场中的运动1．复合场与组合场(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。2．三种场的比较名称力的特点功和能的特点重力场大小：G＝mg方向：竖直向下重力做功与路径无关重力做功改变物体的重力势能静电场大小：F＝qE方向：正电荷受力方向与场强方向相同；负电荷受力方向与场强方向相反电场力做功与路径无关W＝qU电场力做功改变电势能磁场洛伦兹力F＝qvB方向可用左手定则判断洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能3．带电粒子在复合场中的运动分类(1)静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动。(2)匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。(3)一般的曲线运动：当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。(4)分阶段运动：带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。突破一带电粒子在组合场中的运动“磁偏转”和“电偏转”的差别电偏转磁偏转偏转条件带电粒子以v⊥E进入匀强电场带电粒子以v⊥B进入匀强磁场受力情况只受恒定的电场力只受大小恒定的洛伦兹力运动情况类平抛运动匀速圆周运动运动轨迹抛物线圆弧物理规律类平抛知识、牛顿第二定律牛顿第二定律、向心力公式基本公式L＝vt，y＝12at2，a＝qEm，tanθ＝atvr＝mvqB，T＝2πmqB，t＝θT2π【典例1】(2014·海南卷，14)如图1所示，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外；在x轴下方存在匀强电场，电场方向与xOy平面平行，且与x轴成45°夹角。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子以速度v0从y轴上P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经过一段时间T0，磁场方向变为垂直纸面向里，大小不变，不计重力。(1)求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需的时间；(2)若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值。图1解析(1)带电粒子在磁场中做圆周运动，设运动半径为R，运动周期为T，根据洛伦兹力公式及圆周运动规律，有qv0B＝mv20R，T＝2πRv0依题意，粒子第一次到达x轴时，运动转过的角度为54π，所需时间为t1＝58T，求得t1＝5πm4qB(2)粒子进入电场后，先做匀减速运动，直到速度减小为0，然后沿原路返回做匀加速运动，到达x轴时速度大小仍为v0，设粒子在电场中运动的总时间为t2，加速度大小为a，电场强度大小为E，有qE＝ma，v0＝12at2，得t2＝2mv0qE根据题意，要使粒子能够回到P点，必须满足t2≥T0得电场强度最大值E＝2mv0qT0答案(1)5πm4qB(2)2mv0qT01.求解策略：“各个击破”2．抓住联系两个场的纽带——速度。【变式训练】1．如图2所示，在坐标系xOy的第一象限内斜线OC的上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，第四象限内存在磁感应强度大小未知、方向垂直纸面向里的匀强磁场，第三象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，在x轴负半轴上有一接收屏GD，GD＝2OD＝d，现有一带电粒子(不计重力)从y轴上的A点，以初速度v0水平向右垂直射入匀强磁场，恰好垂直OC射出，并从x轴上的P点(未画出)进入第四象限内的匀强磁场，粒子经磁场偏转后又垂直y轴进入匀强电场并被接收屏接收，已知OC与x轴的夹角为37°，OA＝45d，求：图2(1)粒子的电性及比荷qm；(2)第四象限内匀强磁场的磁感应强度B′的大小；(3)第三象限内匀强电场的电场强度E的大小范围。解析(1)粒子运动轨迹如图所示，由左手定则可知粒子带负电由图知粒子在第一象限内运动的轨道半径R＝45d由洛伦兹力提供向心力得Bqv0＝mv20R联立得qm＝5v04Bd(2)由图知OP＝d，所以粒子在第四象限内做圆周运动的半径为r＝OPcos37°＝5d4同理B′qv0＝mv20r，联立得B′＝16B25(3)粒子在匀强电场中做类平抛运动，由图知OQ＝r＋rsin37°＝2d当电场强度E较大时，粒子击中D点，由类平抛运动规律知d2＝v0t2d＝12·qEmaxmt2联立得Emax＝64Bv05当电场强度E较小时，粒子击中G点，由类平抛运动规律知3d2＝v0t2d＝12·qEminmt2联立得Emin＝64Bv045所以64Bv045≤E≤64Bv05答案(1)负5v04Bd(2)16B25(3)64Bv045≤E≤64Bv05突破二带电粒子在叠加复合场中的运动处理带电粒子在复合场中的运动时，要做到“三个分析”：(1)正确分析受力情况，重点明确重力是否不计和洛伦兹力的方向。(2)正确分析运动情况，常见的运动形式有：匀速直线运动、匀速圆周运动和一般变速曲线运动。(3)正确分析各力的做功情况，主要分析电场力和重力的功，洛伦兹力一定不做功。【典例2】(2014·四川卷，10)在如图3所示的竖直平面内，水平轨道CD和倾斜轨道GH与半径r＝944m的光滑圆弧轨道分别相切于D点和G点，GH与水平面的夹角θ＝37°。过G点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B＝1.25T；m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，物体电荷量保持不变，不计空气阻力。求：过D点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度E＝1×104N/C。小物体P1质量m＝2×10－3kg、电荷量q＝＋8×10－6C，受到水平向右的推力F＝9.98×10－3N的作用，沿CD向右做匀速直线运动，到达D点后撤去推力。当P1到达倾斜轨道底端G点时，不带电的小物体P2在GH顶端静止释放，经过时间t＝0.1s与P1相遇。P1和P2与轨道CD、GH间的动摩擦因数均为μ＝0.5，取g＝10(1)小物体P1在水平轨道CD上运动速度v的大小；(2)倾斜轨道GH的长度s。图3第一步：仔细读题抓好“三个分析”第二步：抓住关键点挖掘隐含信息题干：“当P1到达倾斜轨……经过时间t＝0.1s与P1相遇两物体在斜面上的运动时间相同0.1s规范解答(1)设小物体P1在匀强磁场中运动的速度为v，受到向上的洛伦兹力为F1，受到的摩擦力为f，则F1＝qvB①f＝μ(mg－F1)②由题意，水平方向合力为零F－f＝0③联立①②③式，代入数据解得v＝4m/s④(2)设P1在G点的速度大小为vG，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理qErsinθ－mgr(1－cosθ)＝12mv2G－12mv2⑤P1在GH上运动，受到重力、电场力和摩擦力的作用，设加速度为a1，根据牛顿第二定律qEcosθ－mgsinθ－μ(mgcosθ＋qEsinθ)＝ma1⑥P1与P2在GH上相遇时，设P1在GH上运动的距离为s1，则s1＝vGt＋12a1t2⑦设P2质量为m2，在GH上运动的加速度为a2，则m2gsinθ－μm2gcosθ＝m2a2⑧P1与P2在GH上相遇时，设P2在GH上运动的距离为s2，则s2＝12a2t2⑨联立⑤～⑨式，代入数据得s＝s1＋s2s＝0.56m答案(1)4m/s(2)0.56m【变式训练】2．一束硼离子以不同的初速度，沿水平方向经过速度选择器，从O点进入方向垂直纸面向外的匀强偏转磁场区域，分两束垂直打在O点正下方的硼离子探测板上P1和P2点，测得OP1∶OP2＝2∶3，如图4甲所示。速度选择器中匀强电场的电场强度为E，匀强磁场的磁感应强度为B1，偏转磁场的磁感应强度为B2，若撤去探测板，在O点右侧的磁场区域中放置云雾室，硼离子运动轨迹如图乙所示。设硼离子在云雾室中运动时受到的阻力f＝kq，式中k为常数，q为硼离子的电荷量。不计硼离子重力。求：(1)硼离子从O点射出时的速度大小；(2)两束硼离子的电荷量之比；(3)两种硼离子在云雾室里运动的路程之比。图4解析(1)只有竖直方向受力平衡的离子，才能沿水平方向运动离开速度选择器，故有qE＝qvB1解得v＝EB1。(2)设到达P1点的硼离子的电荷量为q1，到达P2点的硼离子的电荷量为q2进入磁场后有qvB2＝mv2r解得r＝mvqB2根据题意有r1r2＝23进入偏转磁场的硼离子的质量相同、速度相同，可得q1q2＝r2r1＝32。(3)设电荷量为q1的硼离子运动路程为s1，电荷量为q2的硼离子运动路程为s2，在云雾室内硼离子受到的阻力始终与速度方向相反，阻力一直做负功，洛伦兹力不做功，则有W＝－fs＝ΔEkf＝kq可得：s1s2＝q2q1＝23。答案(1)EB1(2)3∶2(3)2∶3突破三带电粒子在交变电磁场中的运动带电粒子在交变电磁场中运动的处理方法：(1)弄清复合场的组成特点及场的变化情况。(2)正确分析带电粒子的受力及运动特点。(3)画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。【典例3】如图5甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E＞0表示电场方向竖直向上。t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点。Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g。上述d、E0、m、v、g为已知量。(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；(2)求电场变化的周期T；(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值。图5第一步：抓住关键点获取信息第二步：抓好过程分析构建运动模型理清思路第一个过程：微粒做匀速直线运动E0q＋mg＝qvBd2＝vt1第二个过程：微粒做匀速圆周运动E0q＝mgqvB＝mv2R2πR＝vt2规范解答(1)微粒做直线运动，则mg＋qE0＝qvB①微粒做圆周运动，则mg＝qE0②联立①②得q＝mgE0③B＝2E0v④(2)设微粒从N1运动到Q的时间为t1，做圆周运动的周期为t2，则d2＝vt1⑤qvB＝mv2R⑥2πR＝vt2⑦联立③④⑤⑥⑦得t1＝d2v，t2＝πvg⑧电场变化的周期T＝t1＋t2＝d2v＋πvg⑨(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求d≥2R⑩联立③④⑥得R＝v22g⑪设在N1Q段直线运动的最短时间为t1min，由⑤⑩⑪得t1min＝v2g因t2不变，T的最小值Tmin＝t1min＋t2＝2π＋1v2g。答案(1)mgE02E0v(2)d2v＋πvg(3)2π＋1v2g带电粒子在复合场中运动的解题模板【变式训练】3．如图6甲所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，其变化规律如图乙所示，电场强度E0＝22500πV/m，现将一重力不计、比荷qm＝106C/kg的带电粒子从电场中的C点由静止释放，经t1＝π15×10－5s的时间粒子通过MN上的D点进入匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B按图丙所示规律变化。(计算结果均可保留π)图6(1)求粒子到达D点时的速率；(2)求磁感应强度B1＝0.3T时粒子做圆周运动的周期和半径；(3)若在距D点左侧d＝21cm处有一垂直于MN的足够大的挡板ab，求粒子从C点运动到挡板所用的时间。解析(1)粒子在电场中做匀加速直线运动，则qE＝ma，v0＝at1解得v0＝1.5×104m/s(2)设磁感应强度B1＝0.3T时，粒子运动的半径为r1，运动周期为T1，则B1qv0＝mv20r1，T1＝2πmB1q解得r1＝5cm，T1＝2π3×10－5s(3)设磁感应强度B2＝0.5T时，粒子运动半径为r2，运动周期为T2，则B2qv0＝mv20r2，T2＝2πmB2q解得r2＝3cm，T2＝2π5×10－5s由以上计算可知，粒子的运动轨迹为如图所示的周期运动，每一个周期运动的水