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数学专题四数学思想方法初中数学思想方法主要有：①转化思想；②数形结合思想；③整体思想；④分类讨论思想；⑤函数与方程思想；⑥统计思想；⑦特殊到一般的思想等．数形结合思想【例1】(2014·巴中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D(0，4)，B(6，0)，若反比例函数y＝k1x(x＞0)的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F，设直线EF的解析式为y＝k2x＋b.(1)求反比例函数和直线EF的解析式；(2)求△OEF的面积；(3)请结合图象直接写出不等式k2x＋b－k1x＞0(x＞0)的解集．分析：(1)先根据图形的性质确定点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式，再求出E，F的坐标，从而求出直线EF的解析式；(2)利用△OEF的面积＝S矩形BCDO－S△ODE－S△OBF－S△CEF进行计算；(3)观察函数图象，确定一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可．解：(1)反比例函数解析式为y＝6x，直线EF的解析式为y＝－23x＋5(2)△OEF的面积＝S矩形BCDO－S△ODE－S△OBF－S△ECF＝4×6－12×4×32－12×6×1－12×(6－32)×(4－1)＝454(3)32＜x＜6分类讨论思想【例2】(2015·攀枝花)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点，若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为___________________________________________________．(3，4)或(2，4)或(8，4)或(2.5，4)转化思想【例3】(2015·绵阳)如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．(1)求证：△BOC≌△CDA；(2)若AB＝2，求阴影部分的面积．分析：(1)△ABC的内心是三内角平分线的交点，再由同弧所对的圆周角相等和平行四边形的性质，推出相应的角和边相等，即可由AAS证得；(2)先证△ABC是等边三角形，可得∠AOB＝120°，再由S阴影＝S扇形AOB－S△AOB可求．解：(1)∵O为△ABC的内心，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，由AD綊CO，∴∠4＝∠5，∴∠4＝∠6，∴△BOC≌△CDA(AAS)(2)由(1)得BC＝AC，∠3＝∠4＝∠6，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴△ABC内心O也是外心，∴OA＝OB＝OC，设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC，在Rt△OCE中，CE＝12AC＝12AB＝1，∠OCE＝30°，∴OA＝OB＝OC＝233，∵∠AOB＝120°，∴S阴影＝S扇形AOB－S△AOB＝120π360×(233)2－12×2×33＝4π－3391．(2015·山西)我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2，这种解法体现的数学思想是()A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想A2．(2015·黔南州)如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝9时，点R应运动到()A．M处B．N处C．P处D．Q处D3．(2015·烟台)如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是()A．b2＞4acB．ax2＋bx＋c≥－6C．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞nD．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为－5和－1C4．(2015·安顺)如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是________________．(结果保留π)3－13π5．(2015·攀枝花)如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为____．76.(2015·安徽)已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：①若c≠0，则1a＋1b＝1；②若a＝3，则b＋c＝9；③若a＝b＝c，则abc＝0；④若a，b，c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8.其中正确的是____________．(填序号)①③④7．(2015·襄阳)如图，已知反比例函数y＝mx的图象与一次函数y＝ax＋b的图象相交于点A(1，4)和点B(n，－2)．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．解：(1)y＝4xy＝2x＋2(2)x＜－2或0＜x＜18．(2014·南充)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x－1交于A，B两点，点A的横坐标为－3，B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D.(1)求抛物线的解析式；(2)当m为何值时，S四边形OBDC＝2S△BPD?(3)是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)y＝x2＋4x－1(2)∵P(m，m2＋4m－1)，D(m，m－1)，C(m，0)，∴CD＝1－m，∵S四边形OBDC＝2S△BPD，即12(OB＋CD)·OC＝2·12PD·OC，∴1＋CD＝2PD.当点P运动至A处，此时P，D重合．①当PD在点A右侧时，PD＝－m2－3m，则2－m＝－2(m2＋3m)，解得m1＝－12，m2＝－2；②当PD在点A左侧时，PD＝m2＋3m，则2－m＝2(m2＋3m)，解得m3＝－7－654，m4＝－7＋654(不合题意，舍去)．综上，m＝－12，－2或－7－654(3)∵∠PDA＝45°≠90°，∴当∠APD＝90°或∠PAD＝90°时，△PAD是直角三角形．①若∠APD＝90°，则AP∥x轴，∴yP＝yA，即m2＋4m－1＝－4，解得m1＝－1，m2＝－3(舍去)，∴P1(－1，－4)；②若∠PAD＝90°，AP⊥AB，可求直线AP：y＝－x－7，由y＝－x－7，y＝x2＋4x－1，解得x1＝－2，y1＝－5，x2＝－3，y2＝－4，∴P2(－2，－5)，综上．P(－1，－4)或(－2，－5)1．(2015·牡丹江)抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点(－2，3)，则3b－6a＝____．2．(2014·南昌)在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为__________________．3．(2015·淄博)关于x的反比例函数y＝a＋4x的图象如图，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称，△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B，若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋14＝0的根的情况是__________________．－326或43或23没有实数根4．(2015·铁岭)如图，点A(m，2)，B(5，n)在函数y＝kx(k＞0，x＞0)的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A，B的对应点分别为A′，B′.图中阴影部分的面积为8，则k的值为____．25．(2015·海南)甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是()A．甲、乙两人进行1000米赛跑B．甲先慢后快，乙先快后慢C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等D．甲先到达终点6．(2015·大庆)已知二次函数y＝a(x－2)2＋c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若|x1－2|＞|x2－2|，则下列表达式正确的是()A．y1＋y2＞0B．y1－y2＞0C．a(y1－y2)＞0D．a(y1＋y2)＞0CC7．(2015·杭州)复习课中，教师给出关于x的函数y＝2kx2－(4k＋1)x－k＋1(k是实数)．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图象经过(1，0)点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④当函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．解：①真，代入得k＝0；方程思想；②假，反例：k＝0；举反例；③假，反例：k＝1，－b2a＝54，当x＞1时，先减后增；举反例；④真，k≠0，记y最＝4ac－b24a＝－24k2＋18k，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负数；k＜0时，有最大值，最大值为正数；分类讨论思想8．(2015·青海)如图，二次函数y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M.(1)求该抛物线的解析式；(2)判断△BCM的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)y＝x2－2x－3(2)△BCM为直角三角形，理由：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，即顶点M坐标为(1，－4)，令x＝0，得到y＝－3，即C(0，－3)，根据勾股定理得BC＝32，BM＝25，CM＝2，∵BM2＝BC2＋CM2，∴△BCM为直角三角形(3)若∠APC＝90°，即P点和O点重合，如图1，连接AC，∵∠AOC＝∠MCB＝90°，且AOMC＝COBC，∴Rt△AOC∽Rt△MCB，∴此时P点坐标为(0，0)；若P点在y轴上，则∠PAC＝90°，如图2，过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，∵Rt△CAP1∽Rt△AOP1∽Rt△COA∽Rt△BCM，∴OAOC＝OP1OA，即13＝OP11，∴点P1(0，13)；若P点在x轴上，则∠PCA＝90°，如图3，过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM，∴AOAC＝ACAP2，即110＝10AP2，AP2＝10，∴点P2(9，0)．∴符合条件的点有三个：O(0，0)，P1(0，13)，P2(9，0)