2016届原创§17函数的单调性

一、概念：二、应用：§17函数的单调性三、判定：2.引申应用：1.基本应用：2.形法1.背诵法3.数法x1＜x2;y1y2;↗(↘)①求极值②求最值③堪根④解证不等式⑤解等式°°°°°知二有一函数总述三求一画反复讨论基本函数一十有二注①.三求：注③.反复讨论：注②.一画：注④.基本函数一十有二：函数的三要素：①定义域②解析式③值域①反函数②复合函数③讨论性质1°常值函数；2°正比函数；3°反比函数4°对号函数；5°一次函数；6°二次函数7°三次函数；8°幂函数；9°指数函数10°对数函数；11°三角函数；12°绝对值函数函数的图象1°单调性；2°奇偶性；3°周期性；4°凸凹性5°渐近性；6°有界性；7°连续性……背诵法①使式子有意义的x反函数：奇偶性：复合函数：基本函数：2.定义域的求法：形法：数法三反两同两公式定义域具有对称性内函数的值域是外函数的定义域左右看定义域；上下看值域②实际问题对x的限制有图就有一切1.“定义域优先”是原则，是习惯：注：抽象函数的定义域：函数像个框什么都能装大小要刚好内值外定义2.作图、识图与用图密不可分：1.有图就有一切：利用图象解题获取图中信息①作图是基础：基本函数要熟知两域五性反导数上大下小中为根极值最值不动点数形结合思想是个很大的数学思想根据条件作图②识图是关键：③用图是目的：用图靠自觉好图是关键描点变换性质法作图的方法描点法变换法双重变换法多重变换法复式变换法单式变换法①平移④翻折②伸缩③对称⑤旋转作图基础描点法以点代线是小作和谐函数五点法四点三线绝对值＋－平移×伸缩变号变位为对称横横纵纵绝对翻运算主体纯字母＋角顺转绕极点直线法距圆用心性质法两域五性特殊点单式变换是基础和谐函数是代表一根二序三变量运算主体纯字母图象变换点变换常用结论要熟知以点代线是小作复杂变换用参量基本函数要熟知⑴常值函数的图像:……⑶反比函数的图像:……⑵正比函数的图像:……⑷一次函数的图像:……⑸二次函数的图像:……yCykxkyxykxb2yaxxbxc注：分式一次函数的图像反比函数的图像平移常数分离法⑹对号函数的图像kyxx0k0k2kk，⑺三次函数的图像:32fxaxbxcxd0a0a/()0fx（其中：⊿是方程的判别式）⊿＞0⊿≤02x1x2x1x注:四次函数的图像:432fxaxbxcxdxe0a0a方程有/()0fx一个实根或三个实根且有二个为重根时三个互异的实根时方程有/()0fx⑻幂函数的图像nmyxx第一象限是关键正抛负双上大1恒过定点(1,1)点二三象限看奇偶奇奇奇偶奇偶奇偶非走双偶无⑻幂函数的图像nmyxx第一象限是关键正抛负双上大1恒过定点(1,1)点二三象限看奇偶奇奇奇偶奇偶奇偶非走双偶无21xy1xy2xy3xy⑻幂函数的图像nmyxx第一象限是关键正抛负双上大1恒过定点(1,1)点二三象限看奇偶奇奇奇偶奇偶奇偶非走双偶无3xyxyo3logyx2logyx12logyx13logyx⑼对数函数的图像指上对右增大减小指对互反恒过定点大同小异越小越近渐近平行底倒图对aylogx(1,0)0(0,1)xyxy2xy21xy3xy31⑽指数函数的图像指上对右增大减小指对互反恒过定点大同小异越小越近渐近平行底倒图对xyay=sinx的图象y=cosx的图象(11)三角函数的图象y=tanx的图象y=cotx的图象112233()||||||fxkxxkxxkxx①单绝对值函数：③三绝对值函数：0()||fxkxx②双绝对值函数：1122()||||fxkxxkxx四点三线法五点四线法三点二线法11()xfx，22()xfx，33()xfx，44()xfx，（12）.绝对值函数的图像:yfxygx取大函数：Fmax,xfxgx取大函数：Gmin,xfxgxFmax,xfxgx取小函数：yfxygx取大函数：Gmin,xfxgxFmax,xfxgx取小函数：符号函数：（x0）（x=0）（x0）xyo11取整函数1.取整的方法：①四舍五入取整②截去小数取整③截去小数向上取整④截去小数向下取整2.上取整函数(ceiling)：xyo132123(不小于x的整数中最小的一个)3.下取整函数(floor)：(不超过x的整数中最大的一个)xyo134212xyoxyo1xyo1-12xxeeshx双曲正弦函数2xxeechx双曲余弦函数双曲正切函数xxxxeeeechxshxthx双曲函数的图像二、两者间的关系：函数的不动点与稳定点1.不动点一定是稳定点；反之则不然2.若f(x)在D上的递增,则稳定点一定是不动点(2010年浙大自考)1.一阶不动点f(x)与y=x交点的横坐标2.二阶不动点f(x)与y=x交点的横坐标或f(x)上关于y=x对称点的横坐标一、对两者数形的阐释：y=f(x)y=x方程组的解方程组的解f(x1)=x2f(x2)=x100fxx00fxx()()f(x)=yf(y)=x一、概念：二、应用：§17函数的单调性三、判定：2.引申应用：1.基本应用：2.形法1.背诵法3.数法x1＜x2;y1y2;↗(↘)①求极值②求最值③堪根④解证不等式⑤解等式°°°°°知二有一单调性奇偶性周期性作用形数升降性对称性重复性化负为正转换大小化大为小①背诵法②形法③数法f(x)±f(-x)=0f(x+T)=f(x)x1＜x2y1＜y2↗概念判定()fx12,xx1x2x1()fx2()fx对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当＜时，都有＜则称函数在区间D上是增函数()fx12,xx1x2x1()fx2()fx对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当＜时，都有＞则称函数在区间D上是减函数说明：①单调区间D是定义域I的子区间②单调性是针对一个区间定义的一、概念：2.引申应用：1.基本应用：x1＜x2;y1y2;↗(↘)①求极值②求最值③堪根④解证不等式⑤解等式°°°°°知二有一二、应用：背诵法反函数：奇偶性：复合函数：基本函数：形法：数法三反两同两公式奇同偶反同增异减有图就有一切和差函数：同加不变；异减看前从左到右持续升（降）增大减小○驻点含参反用必须等具体函数比较法抽象函数配凑法导数法定义法三、判定：注：导数法判定单调性：第一确定定义域第二求导到显然注1：最终结果要显然乘积配方与○比注2：增大减小○驻点等号问题待大学含参反用必须等其他情况暂忽略注3：书写格式要简明三解不等得结论书写格式要简明①②③①当f(x)单调时②当f(x)不单调时因在Domain上恒成立0)(xf故f(x)在Domain上↗（↘）0)(xf当x∈Domain时，解得f(x)在I1，I2…上↗当x∈Domain时，解得f(x)在I1，I2…上↘0)(xfxxxf11(1).函数的减区间是________________(-∞,-1)，(-1,+∞)练习1.单调性的相关概念：练习2.单调性的判定：(2).讨论函数的单调性43254xfxxx/32()32fxxxx解：因(1)(2)xxx解/()0fx得f(x)在(0,1)，(2,＋∞)上↗解/()0fx得f(x)在(－∞,0)，(1,2)上↘21.()Afxx2.()1Bfxx3.()Cfxx.()2xDfx(3).(2014年湖南)下列函数中,既是偶函数又在(－∞,0)上是单调递增的是【A】(4).已知偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.证明：f(x)在(-∞,0)上单调递减析1：抽象函数配凑法奇同偶反是典例析2：问谁设谁再变号“穿衣”变形凑结论证明：设x1＜x2＜0，则－x1＞－x2＞0因f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(－x1)＞f(－x2)又因f(x)是偶函数，故f(x1)＞f(x2)所以f(x)在(-∞,0)上单调递减练习3.已知单调性，求参量：【D】(5)函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是A.a∈(-∞,1]B.a∈[2,+∞)C.a∈[1,2]D.a∈(-∞,1]∪[2,+∞)(6).《精炼案》P：13Ex5(7).《精炼案》P：13Ex4(2006年北京变式)(31)4,1()log,1aaxaxfxxx已知,对任意的实数x1≠x2都有,那么a∈A.(0,1)B.C.D.1212()()0fxfxxx103,1173，117，【D】练习4.单调性的应用：(8).《金考案》P：20右上(2014年新课标Ⅱ)(9).《精炼案》P：31Ex6函数的最大值为_____2183fxxx析1：“定义域优先”6x2yxmax612fxf183yx析2：为↗；为↘析3：同加不变；异减看前；故函数f(x)在(-∞,6]上↗所以2x1,x0,fx1,x0,＜(10)已知函数，则不等式f(1-x2)＞f(2x)的解集是_________析：本题若用数法极易出现：忽视Domain的错误若用形法，一目了然也221x0,1x2x＞＞，1x112x12＜＜，＜＜，(1,21)解：依题意得即故(11).定义在R上的增函数f(x),对任意的实数x，都有f[f(x)﹣ex]=e+1，则f(ln2)=______析1：设t=f(x)﹣ex，析3：由①②两式可得f(t)=et+t=e+1则f(x)=ex+t析2：将t=f(x)﹣ex代入f[f(x)﹣ex]=e+1…………①得f(t)=e+1………………………………②…………③析4：又因f(x)是定义在R上的增函数故由③式构成的方程et+t=e+1有唯一解t=1析5：将t=1代入①式得f(x)=ex+1所以f(ln2)=eln2+1=3作业：预习：奇偶性1.《精炼案》P：13Ex22.《精炼案》P：13Ex33.《精炼案》P：31Ex24.《精炼案》P：31Ex11