2016届原创§58数列的通项(二)

一、不动点法二、逐商法三、迭乘法四、迭代法§58求数列的通项公式(二)2.常见题型1.有关概念(1)递推式形如的数列01CBaAannDCaBAaannn1(2)递推式形如的数列012nnnCaBaAa(3)递推式形如的数列三大公式能互换等差等比是典范八通六和及性质数列不等是难点注1：数列的三大公式：非等差等比数列等差等比数列数列概述公式法没公式,有办法注2：求通项公式常用的8种方法：公式法迭加法逐差法逐商法累乘法迭代法归纳法不动点法通项公式三大公式能互换等差等比是典范八通六和及性质数列不等是难点数列概述公式法逐差法1.使用前提:等差等比公式法2.常见题型:明暗构造递推式1.使用前提:差分特殊则可为2.经典之作:通项求和能互换求通项公式常用的8种方法注：通项公式与求和公式的关系---逐差法的经典作注意点①书写格式先分后合能和就和反之分段：注意点②正难则反以退为进：)2()1(11nSSnSannn公式法逐差法迭加法归纳法1.使用前提:等差等比公式法2.常见题型:明暗构造递推式归纳猜想三证明万不得已归纳法1.使用前提:差分特殊则可为2.经典之作:通项求和能互换)(1nfaann若数列的递推公式为,则宜用此法}{na求通项公式常用的8种方法公式法颠倒加错项减裂项消归纳法拆并转求和公式注3：数列求和常用的6种方法：求Sn实质上是求{Sn}的通项公式三大公式能互换等差等比是典范八通六和及性质数列不等是难点数列概述概念求和公式通项公式等差数列等比数列逐差法逐商法1()2nnaanS2)1(1dnnna1(1)1nnaqSq11naaqq中na1(1)naq能推会用文字背知三有二基本功②中项法①定义法常数nn◇◇1}{◇n是等差数列nn◇◇1常数}{◇n是等比数列12◇2◇◇nnn}{◇n是等差数列}{◇n是等比数列21n2◇◇◇nn等差等比数列的证明方法③通项公式法④求和公式法是等差数列是等比数列bknan}{nannkqa}{na是等差数列BnAnSn2}{naAAqSnn是等比数列}{na②中项法①定义法等差等比数列的判断方法等差数列中,}{na等差数列123等差等比数列常用的性质}{na下标和等对应项和等2121mmnn2121mmnnaaaa(常数列除外)等比数列中,}{na下标和等对应项积等(常数列除外)2121mmnn2121mmnnaaaa}{na等比数列}{na等差数列}{na等比数列0adnannnqaa0bnndSn22AAqSnn若等差数列,若等比数列,}{},{nnba}{},{nnba}{nnBbAa则是等比数列}{nnba}{nnba若等差数列,}{na若等比数列,}{na则an，an＋m，an＋2m，…为等差数列等距抽成等差(下标成等差的子数列仍为等差数列)则an，an＋m，an＋2m，…为等比数列等距抽成等比(下标成等差的子数列仍为等比数列)则是等差数列则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…为等差数列若等差数列,}{na等段积（和）成等比……等段和成等差456一、不动点法二、逐商法三、迭乘法四、迭代法§58求数列的通项公式(二)2.常见题型1.有关概念(1)递推式形如的数列01CBaAannDCaBAaannn1(2)递推式形如的数列012nnnCaBaAa(3)递推式形如的数列一、不动点法1.有关概念(1)不动点与稳定点(2)特征方程与特征值㈡两者间的关系：(1)函数的不动点与稳定点①不动点一定是稳定点；反之则不然②若f(x)在D上的递增,则稳定点一定是不动点(2010年浙大自考)①一阶不动点f(x)与y=x交点的横坐标②二阶不动点f(x)与y=x交点的横坐标或f(x)上关于y=x对称点的横坐标㈠对两者数形的阐释：y=f(x)y=x方程组的解方程组的解f(x)=yf(y)=x01CBaAann称为的特征方程0CBxAx称为的特征方程02CBxAx012nnnCaBaAa称为的特征方程DCaBAaannn1DCxBAxx特征方程的根称为特征值②特征值：(2)特征方程与特征值①特征方程1.有关概念(1)不动点与稳定点一、不动点法2.常见题型dqaann1)()(1nnaqa一定可写成其中是的特征值dqaann1……特别的有：}{na则是等比数列，是其特征值若数列满足：}{na01CBaAanndqaann1)()(1nnaqa(1)递推式形如的数列01CBaAann①当特征值是实数且不等时,为等比数列,②当特征值是实数且相等时,,为等差数列③当特征值是复数时,,个别数列具有周期性nnaana1naDCaBAaannn1(2)递推式形如的数列①当特征值是实数且不等时,一定有,②当特征值是实数且相等时,,③当特征值是复数时,,个别数列具有周期性nannnannna)(一定有012nnnCaBaAa(3)递推式形如的数列111,23(1)nnaaan在数列中,若}{na则该数列的通项公式_______na析：因的特征方程为111,23(1)nnaaan32xx即特征值为-3，故)3(2)3(1nnaa即解：因所以111,23(1)nnaaan故)3(2)3(1nnaa是以4为首项,2为公比的等比数列}3{nana123n1243nna故练习1.不动点法求通项(1)《金考案》P：63右下变式4(1)(2006年重庆)(2)(2014年新课标Ⅱ简化)若满足,}{na11a131nnaa证明:是等比数列，并求的通项公式}{na12na故因131nnaa证:)21(211nnaa所以数列是以为首项,为公比的等比数列2312na故2321nna即132nna33说明:该题难度最大的工作：如何构造辅助数列就直接将辅助数列给出了但由于该题是第17题，为了降低难度辅助数列从何而来？不动点法12na585nnSna(3)(2010年上海变式)设数列的前n项和为为Sn,且}{na,求的通项公式}{na解:ⅰ.当n=1时,易得ⅱ.当n≥2时,因即111585aa1na从而即1nnnaSS1(585)[(1)585)]nnnana15(1)(1)6nnaa,即114a1155nnaa所以数列是以-15为首项,为公比的等比数列5615115()6nna15115()6nna03211nnnaa01323111nnnnaa(4)若的满足,}{na,求na析：由题意得即112(3)(3)333nnnnaa33nna所以数列是以5为首项,为公比的等比数列16a23从而即1235()33nnna11523nnna11210333nnnnaa故(5)(2012年大纲版简化)数列满足：②求}{nx①证明：1432nnnxxx123nnxxnx析②:因的特征方程为即特征值为-1和3，故2341nnnxxx234ttt13nnxx为等比数列即1311nnxx故153431nnx3113nnxx①易得为递增数列，……}{nx12x若的满足,}{na(6)《精练案》P：41Ex1512a1120nnnnaaaan∈N*，则=____;通项=______析：因的特征方程为220xxx即特征值为0和1，所以数列是等比数列1nnaana2a43即是以为首项的等比数列11na易得公比为211111aa12111()2nna12故221nn(7)若的满足,}{na10a1331nnnaaan∈N*，则=____20a析：因的特征方程为其特征值为虚根，故为周期数列}{na1331nnnaaa133xxx01a3133,112aaa3133,223aaa0133334aaa周期为3也，故3220aa析：因特征方程为故特征值为-1和3所以322xxnnna)1(34)1(133711nnna特值法求出,(8).《必修5》P：69B组Ex6若的满足,，15a}{na求的通项公式}{na21132nnnaaa22a二、逐商法已知数列,若可求得数列的通项公式}{na}{1nnaa三、迭乘法即可求得数列的递推公式……}{na)(1nfaann若数列的递推公式为,则宜用此法}{na)(1nfaannnnnaa2111annaa22nnnaa211122nnnaa531,,aaa642,,aaa)(2)(221为偶数为奇数nnannn(9)数列中,若，,求}{nana解：因故所以即是以1为首项,2为公比的等比数列是以2为首项和公比的等比数列所以练习2.逐商法与迭乘法11a(10)数列中,若，}{na11nnanan,则=_____na解：因2112aa3223aa4334aa……11nnanan将上述各式累乘可得11naan即1nan111,23(1)nnaaan(11)(2006年重庆)在数列中,若}{na则该数列的通项公式_______na迭代法：不动点法1：……归纳法2：……321nnaa……3)32(22na332222na332)32(232na332322233na332323222211nna1222)2221(3nn11212123nn321n练习3.迭代法逐差法3：……作业:预习:1.《金考案》P：63右下变式4(2)2.《精练案》P：41Ex12数列的求和3.(2006年全国Ⅱ)设数列的前n项和为且方程有一根为,求}{nanS1nSna02nnaxax4.(2015年广东变式)设数列的前n项和为Sn,且}{na}{na,,求的通项公式