2016届原创§75解连组根式及抽象不等式

§75解不等式组,连不等式,根式及抽象不等式数形结合“或”字型书写格式整体观一、解不等式组通法:“截”成不等式组二、解连不等式特法:左右是常数时，可变形成高次不等式三、解根式不等式去掉根号是常法正值可方奇无限留意等号定义域数形结合是特法四、抽象不等式抽象不等具体化数形结合性质法辅助函数是关键增大减小是根本高中数学研究的主要内容关系确定关系随机关系数数关系：形形关系：立体几何解析几何代数数形关系：函数方程不等式解析式不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求最值规律与统计不等式的性质(一)作用：变形化简不等式2.运算性质1.基本性质(二)性质：3.重要的不等式多多益善十四条文字背诵是关键说明：不等式的性质分类：①按课本上的分类方式：……②按资料上的分类方式：单向式；双向式……③按自己的分类方式：……1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b是等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a＜b；如果a＞b,b＞c,那么a＞c如果ab，那么ba，如果ba，那么ab000.abababababab；；a＞bb＜aab，bc⇒ac2.运算性质⑴对一个不等式的运算(变形)⑵对多个不等式的运算(变形)⑴对一个不等式的运算(变形)④加(减):如果ab，那么a+cb+c⑤乘(除)：如果ab,且c0,那么acbc如果ab,且c0,那么acbc⑥方：ab,c0⇒acbcab⇒a+cb+cab,c0⇒acbc若0,(1)nnababnNn则且0,(1)nnababnNn则且若2.运算性质正值可方奇无限⑵对多个不等式的运算(变形)如果ab，且cd，那么a+cb+d⑨同号可倒：⑧乘：ab，cd⇒a+cb+d如果ab0，且cd0，那么acbdab0，cd0⇒acbd若ab,ab0,则11.ab注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可3.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：cba11133abcba112ab则若,c,,Rba2ba222ba(调和平均值)(几何平均值)(幂平均值)(算数平均值)当且仅当a=b=c时，“=”成立33333cba3cba(当且仅当○=□时等号成立)□2+○2≥±2□○当且仅当□=○时等号成立二元的均值不等式若□,○∈R+,则21□○1+□○2□○+≤2□2+○2注1：使用前提是正数当且仅当等相连放缩消元变结构应用特例求最值注2：与对号函数的关联21xx21xx21xxxkxy或注3：即12三角形(绝对值)不等式|□1±□2±□3……□n|≤|□1|+|□2|+|□3|+……+|□n||□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|注1.放缩换序增减号特例消元求最值注2.拍扁三角取等号同号异号是关键“=”成立的条件：①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”②中间“－”时,右侧取“=”的条件是“□○≤0”左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|”左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi时等号成立13柯西不等式i：一般式ii：向量式||||baba方和积≥积方和1.表述方式众多：2.应用：i：作用：换序变结构ii：用途：解证求最值nbbb,,,21注：最常见的是将配凑为naaa,,,21naaa1,,1,121①②③常数列已知1a≤2a≤3a≤…≤na,1b≤2b≤3b≤…≤nb若123,,,ccc…,nc是123,,,bbb…,nb的任意一个排列,则称1122nnSacacac为乱序和称11211nnnSababab为反序和称21122nnSababab为顺序和,2121取时或当且仅当nnbbbaaa14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和15分数的性质若,a,b,c,d,m,n＞0,则dcbadcndmbncmaba特例2：若,a,b,m＞0,则1ba1mbmaba特例1：若,a,b,m＞0,则1ba1mbmaba注：真分数的分子分母加同一正数后放大(糖水不等式，调日术，插值定理)nxxx,,,21nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121nxxx211设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数琴生(Jensen)不等式:,有当且仅当时取等号nxxx,,,21nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121nxxx212设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内任意的n个实数,有当且仅当时取等号凸凹性与琴生(Jensen)不等式1617伯努利不等式参《选修4-5》P：51～52xx1)1(xx1)1(ⅰ:若x＞-1,且α≤0或α≥1，则ⅱ:若x＞-1,且0≤α≤1，则)1()1)(1()1(2121nnxxxxxx(当且仅当n=1时等号成立)如果x是实数,且x＞-1,x≠0,且n为大于1的自然数,则nxxn1)1(注：伯努利不等式常见的推论：ⅲ:若xi＞-1,则18lnx不等式与数列不等式(1).“半成品”辅助函数的衍变1ln11xxx大多数是)1ln(131211nnkkx1(2).令，由迭加法可得(3).令，由迭加法可得1kxk)1ln(1433221nnnn二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式对数不等式三角不等式线性规划四成立……不等式的应用1.解不等式：①常见题型一元二次不等式的解法1.公式(口诀)法：口诀1：大于号要两头小于号要中间口诀2：一正二方三大头无根大全小为空2.其他法：③配方法：①图象(标根)法：②因式分解法：标根法解一元n次不等式一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质分式不等式的解法1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法②常见解法①常见题型形法数法“纯”不等式法函数法函数图象线性规划其他图象1.解不等式：③一般的，不等式解集的端点值是方程的根不等式的应用数法：形法：①比较法②分析法③综合法④反证法⑤数归法⑥放缩法⑦函数法⑧……法2.证明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的应用数法：形法：函数图象最值定理（均值不等式）线性规划函数法（导数法）3.求最值常用的方法：2.证明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的应用§75解不等式组,连不等式,根式及抽象不等式数形结合“或”字型书写格式整体观一、解不等式组通法:“截”成不等式组二、解连不等式特法:左右是常数时，可变形成高次不等式三、解根式不等式去掉根号是常法正值可方奇无限留意等号定义域数形结合是特法四、抽象不等式抽象不等具体化数形结合性质法辅助函数是关键增大减小是根本数形结合“或”字型书写格式整体观(1).《必修5》P：103B组Ex2321xx或解：故所求解集为因解得343321xxx或或}343321|{xxxx或或343xx或一、解不等式组解不等式组2320xx241590xx解：322xx0)3)(2)(1)(1(xxxx0)3)(1(xx0)23)(1(xx3211xx或231xx或32x)3,2[故所求解集为因解得即(2).解不等式组≤0(1)(2)(3)(1)xxxx通法:“截”成不等式组二、解连不等式特法:左右是常数时，可变形成高次不等式练习2.解连不等式(3).不等式2≤x2-2x8的解集是___________2≤x2-2xx2-2x8因解得即-2x431.3-1x≤或x≥-2x≤或≤x4.3-131故所求解集为{x|}-2x≤或≤x4.3-131法1：通法:“截”成不等式组二、解连不等式特法:左右是常数时，可变形成高次不等式练习2.解连不等式(x2-2x-2)(x2-2x-8)≤0因解得即-2≤x≤或≤x≤4.3-131故所求解集为{x|}-2x≤或≤x4.3-131法2：x2-2x-8≠0-2x≤或≤x4.3-131x≠2且x≠4(3).不等式2≤x2-2x8的解集是___________三、解根式不等式去掉根号是常法正值可方奇无限留意等号定义域数形结合是技巧注1.数法陷阱有三：②Domain③”=”的取舍注2.技巧：①正值可方数形结合大题小作(2010年全国卷Ⅱ简化)练习3.解根式不等式(4).解不等式3122aa(4).解不等式3122aa析：①解不等的“分水岭”是相等，即方程也解方程3122aa得35,45aaaaa3122②原不等式等价于设函数ay2ay3,1,2ay2ya3ya21ya③55(,)43a四、抽象不等式抽象不等具体化数形结合性质法辅助函数是关键增大减小是根本法1：令f（x）=|x|,法2：依题意得,原不等式等价于故,解得(5).(2009年辽宁)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调增加则满足的x取值范围是1(21)()3fxfA.B.C.D.12[)33，12()33，12[)23，12()23，1|21|3x1(|21|)()3fxf又因f(x)在区间[0,+∞)单调增加1|21|3x12()33x，即解……(6).《精炼案》P：27Ex4(2011年辽宁)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f/(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为A.(-1.1)B.(-1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,+∞)法1：令f（x）=3x+5,即解3x+5＞2x+4……故f（x）＞2x+4等价于解g（x）＞g（-1）法2：令g(x)=f(x)-2x-4由题意得g/(x)=f/(x)-2＞0在R上恒成立即g(x)在R上↗,因g(-1)=f(-1)+2-4=0,解g(x)＞g（-1）得x＞-1(7).(2009年天津)设函数f(x)的导函数为f/(x)，且2f(x)+xf/(x)＞x2，则下面的不等式在R上恒成立的是A.f(x)＞0B.f(x)＜0C.f(x)＞xD.f(x)＜x法1：令f(x)=x2+1ⅰ:当x=0时,易得f(x)＞0或令x=0,即得f(x)＞0……ⅲ:当x＞0时，法2：令g(x)=x2f(x),则g/(x)=2xf(x)+x2f/(x)=x[2f(x)+xf/(x)]ⅱ:当x＜0时，g/(x)＜x3＜0,即g(x)在R-上↘,即g(x)在R+上↗故g(x)=x2f(x)＜g(0)=0,即f(x)＞0g/(x)＞x3＞0故g(x)=x2f(x)＞g(0)=0,即f(x)＞0综上f(x)＞0(8)(2013年辽宁)设A.有极大值无极小值B.有极小值无极大值C.即有极大值也有极小值D.即无极大值也无极小值则x＞0时,f(x)222,2,0,8xeefxxfxxfxfxfxx满足则时，故选【D】法1：辅助函数是关键增大减小是根本2/32()()xexfxfxx2/()2()xexfxxfxx由得设2()2()xgxexfx/2/()4()2()xgxexfxxfx(2)xxex则故g(x)在(0,2)上↘,在(2,＋∞)上↗故g(x)＞g(2)=0当x＞0且x≠2时恒成立从而f/(x)＞0当x＞0且x≠2时恒成立,而f/(2)=0即f(x)在(0,＋∞)上↗,