2016届原创§81均值不等式求最值

一、均值不等式§81均值不等式求最值二、最值概述三、最值定理高中数学研究的主要内容关系确定关系随机关系数数关系：形形关系：立体几何解析几何代数数形关系：函数方程不等式解析式不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求最值规律与统计不等式的性质(一)作用：变形化简不等式2.运算性质1.基本性质(二)性质：3.重要的不等式多多益善十四条文字背诵是关键说明：不等式的性质分类：①按课本上的分类方式：……②按资料上的分类方式：单向式；双向式……③按自己的分类方式：……1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b是等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a＜b；如果a＞b,b＞c,那么a＞c如果ab，那么ba，如果ba，那么ab000.abababababab；；a＞bb＜aab，bc⇒ac2.运算性质⑴对一个不等式的运算(变形)⑵对多个不等式的运算(变形)⑴对一个不等式的运算(变形)④加(减):如果ab，那么a+cb+c⑤乘(除)：如果ab,且c0,那么acbc如果ab,且c0,那么acbc⑥方：ab,c0⇒acbcab⇒a+cb+cab,c0⇒acbc若0,(1)nnababnNn则且0,(1)nnababnNn则且若2.运算性质正值可方奇无限⑵对多个不等式的运算(变形)如果ab，且cd，那么a+cb+d⑨同号可倒：⑧乘：ab，cd⇒a+cb+d如果ab0，且cd0，那么acbdab0，cd0⇒acbd若ab,ab0,则11.ab注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可3.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：cba11133abcba112ab则若,c,,Rba2ba222ba(调和平均值)(几何平均值)(幂平均值)(算数平均值)当且仅当a=b=c时，“=”成立33333cba3cba(当且仅当○=□时等号成立)□2+○2≥±2□○当且仅当□=○时等号成立二元的均值不等式若□,○∈R+,则21□○1+□○2□○+≤2□2+○2注1：使用前提是正数当且仅当等相连放缩消元变结构应用特例求最值注2：与对号函数的关联21xx21xx21xxxkxy或注3：即12三角形(绝对值)不等式|□1±□2±□3……□n|≤|□1|+|□2|+|□3|+……+|□n||□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|注1.放缩换序增减号特例消元求最值注2.拍扁三角取等号同号异号是关键“=”成立的条件：①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”②中间“－”时,右侧取“=”的条件是“□○≤0”左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|”左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi时等号成立13柯西不等式i：一般式ii：向量式||||baba方和积≥积方和1.表述方式众多：2.应用：i：作用：换序变结构ii：用途：解证求最值nbbb,,,21注：最常见的是将配凑为naaa,,,21naaa1,,1,121①②③常数列已知1a≤2a≤3a≤…≤na,1b≤2b≤3b≤…≤nb若123,,,ccc…,nc是123,,,bbb…,nb的任意一个排列,则称1122nnSacacac为乱序和称11211nnnSababab为反序和称21122nnSababab为顺序和,2121取时或当且仅当nnbbbaaa14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和15分数的性质若,a,b,c,d,m,n＞0,则dcbadcndmbncmaba特例2：若,a,b,m＞0,则1ba1mbmaba特例1：若,a,b,m＞0,则1ba1mbmaba注：真分数的分子分母加同一正数后放大(糖水不等式，调日术，插值定理)nxxx,,,21nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121nxxx211设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数琴生(Jensen)不等式:,有当且仅当时取等号nxxx,,,21nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121nxxx212设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内任意的n个实数,有当且仅当时取等号凸凹性与琴生(Jensen)不等式1617伯努利不等式参《选修4-5》P：51～52xx1)1(xx1)1(ⅰ:若x＞-1,且α≤0或α≥1，则ⅱ:若x＞-1,且0≤α≤1，则)1()1)(1()1(2121nnxxxxxx(当且仅当n=1时等号成立)如果x是实数,且x＞-1,x≠0,且n为大于1的自然数,则nxxn1)1(注：伯努利不等式常见的推论：ⅲ:若xi＞-1,则18lnx不等式与数列不等式(1).“半成品”辅助函数的衍变1ln11xxx大多数是)1ln(131211nnkkx1(2).令，由迭加法可得(3).令，由迭加法可得1kxk)1ln(1433221nnnn二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式对数不等式三角不等式线性规划四成立……不等式的应用1.解不等式：①常见题型一元二次不等式的解法1.公式(口诀)法：口诀1：大于号要两头小于号要中间口诀2：一正二方三大头无根大全小为空2.其他法：③配方法：①图象(标根)法：②因式分解法：标根法解一元n次不等式一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质数形结合“或”字型书写格式整体观解不等式组通法:“截”成不等式组解连不等式特法:左右是常数时，可变形成高次不等式解根式不等式去掉根号是常法正值可方奇无限留意等号定义域数形结合是特法抽象不等式抽象不等具体化数形结合性质法辅助函数是关键增大减小是根本分式不等式的解法1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法常用结论要背熟辅助函数是关键数法主要单调性上大下小中方程形法：数法：上大下小中方程背诵法：数法主要单调性常用结论要背熟辅助函数是关键解指数,对数及三角不等式1.若xsin02.若xcos03.若xtan0,则xxcosxsin4.若5.若xsinxtan,则x,则x,则x,则xxcossinx＜cosxsinx＞cosxsinx＜tanxsinx＜tanxsinx＞tanxsinx＞tanxsinx常用结论要背熟1.若xsin02.若xcos03.若xtan0,则xxcosxsin4.若5.若xsinxtan,则x,则x,则x,则x常用结论要背熟6.大同小异0alogx约束条件目标函数(线性规划)可行解可行域最优解定义域解析式值域一元函数目标函数线最值最优解取值范围多元不等式数形一域二线三找点来先去后为最值一域二线三找点来先去后为最值(多元函数)简言之，线性规划就是图象法解二元不等式1.直线型：线性规划常见的几类目标函数2.曲线型：3.其他型：①直线平移型：②直线旋转型：③直线旋移型：④点线距离型：00xxyyzbyaxzyxz||cbyaxz(a,b为常数,截距……)(x0,y0为常数,斜率……)(λ,μ为参量,截距……)(a,b,c为常数,距离…)⑤圆伸缩型：2020)()(yyxxz(x0,y0为常数,半径…)⑥向量型：……②常见解法①常见题型形法数法“纯”不等式法函数法函数图象线性规划其他图象1.解不等式：③一般的，不等式解集的端点值是方程的根不等式的应用数法：形法：①比较法②分析法③综合法④反证法⑤数归法⑥放缩法⑦函数法⑧……法2.证明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的应用数法：形法：函数图象最值定理（均值不等式）线性规划函数法（导数法）3.求最值常用的方法：2.证明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的应用绝对值不等式常见的题型解证1.最值一元二元2.含参单号三号3.双号1.定义：4.绝对值函数的图象：2.公式：②形：①数：||0xx)(000xxxx)(0xx)(0xx)(0xx(零点分段法的基础)几何意义——距离(实数,复数,向量)3.性质：②|f(x)|＞g(x)－g(x)＜f(x)或f(x)＞g(x)①|f(x)|＜g(x)－g(x)＜f(x)＜g(x)绝对值不等式常用的结论3.性质：2|□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|注1.放缩换序增减号特例消元求最值注2.拍扁三角取等号同号异号是关键“=”成立的条件：①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”②中间“－”时,右侧取“=”的条条件是“□○≤0”左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|”左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”1|□·○|=|□|·|○||○||□|○□=|□|=□2；；112233()||||||fxkxxkxxkxx①单绝对值函数：③三绝对值函数：0()||fxkxx②双绝对值函数：1122()||||fxkxxkxx四点三线法五点四线法三点二线法11()xfx，22()xfx，33()xfx，44()xfx，4.绝对值函数的图象：③公式法①几何意义——距离数法形法④平方法⑥换元法⑤零点分段法②函数图像——翻折……去号法⑨增号法⑦⊿不等式法⑧保号法绝对值不等式常用的策略一、均值不等式§81均值不等式求最值二、最值概述三、最值定理一、均值不等式3111abc3abcba112ab则若,c,,Rba2ba222ba(调和平均值)(几何平均值)(幂平均值)(算数平均值)当且仅当a=b=c时，“=”成立33333abc3cba三元二元一、均值不等式cba11133abc则若,c,,Rba(调和平均值)(几何平均值)(幂平均值)(算数平均值)当且仅当a=b=c时，“=”成立33333abc3cba三元二元21□○1+2□○+≤2□2+○2□○使用前提是正数当且仅当等相连放缩消元变结构应用特例求最值(常,等)1.表示符号2.求法文字图象等式:不等式:maxymin)(xf若且存在Cxf)(0形法数法函数图象线性规划………………函数法最值定理Cxf)(则f(x)有最小值C二、最值概述已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法多元有优势小作抓“等”字大作“正常等”注2：书写格式三因一果注3：常见题型明考暗考配凑连用嵌积重点三、均值不等式求最值1□○1+□○□○+□2+○2，，，——最值定理,等周定理,等周不等式练习1.小作抓“等”字：(3)(2013年湖南)已知222,,,236,49abcabcabc则的最小值为【12】222,,,236,49abcabcabc则的最小值为222,,,236,49abcabcabc则的最小值为R+______(2)(2010年重庆)已知x＞0,y＞0,x+2y+2xy=892112则x+2y的最小值是A．3B．4C．D．【B】(1)(2009年重庆)已知a＞0,b＞0,则的最小值是A．2B．C．4D．522112abab【C】(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,则ab的最小值是_____【9】练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,