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第1页（共20页）2016年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={x|y=ln（x+1）}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁RA）∩B=（）A．{﹣2}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．复数等于（）A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i3．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A．2B．2C．8D．84．运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．3B．2C．﹣1D．﹣25．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n6．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（）A．B．C．D．第2页（共20页）7．若实数x，y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）A．16B．12C．11D．98．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cosωx的图象，只需把y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”；已知f（x）=﹣x在（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[，5]C．（2，+∞）D．（，+∞）10．已知点P为抛物线C：x2=2py（p＞0）上任意一点，O为坐标原点，点M（0，m），若|PM|≥|OM|恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，p]D．（﹣∞，2p]11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A．208πB．128πC．64πD．32π12．已知函数f（x）=x2﹣2（a+m）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣m）x﹣a2+2m2，（a，m∈R），定义H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（其中max{p，q}表示p、q中较大值，min{p，q}表示p、q中的较小值）记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．﹣4m2B．4m2C．a2﹣2a﹣4m2D．a2﹣2a+4m2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．写出命题“存在x∈（0，+∞），使得lnx＞x﹣1”的否定：．第3页（共20页）14．写出（x）5的展开式中常数项：．15．已知平面内A，B两点的坐标分别为（2，2），（0，﹣2），O为坐标原点，动点P满足||=1，则||的最小值是．16．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=C且4a2+b2+c2=4，则△ABC面积的最大值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+an=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn=log，求数列{}的前n项和Tn．18．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．20．已知椭圆C1：和椭圆C2：=1的离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上．第4页（共20页）（1）求椭圆C1的方程；（2）设P为椭圆C2上一动点，过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点．试判断△AOC的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间和最大值；（2）若两不等正数m，n满足mn=nm，函数f（x）的导函数为f′（x），求证：f′（）＜0．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥DC，DC的延长线交PQ于点Q．（1）求证：AC2=CQ•AB；（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：p2﹣4pcosθ+2=0（1）将极坐标方程化为普通方程（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．[选修：4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣1|（1）求不等式f（x）≤4的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞log2（a2﹣3a）恒成立，求实数a的取值范围．第5页（共20页）2016年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={x|y=ln（x+1）}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁RA）∩B=（）A．{﹣2}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用对数函数性质和补集定义求解．【解答】解：∵集合A={x|y=ln（x+1）}={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，B={﹣2，﹣1，0，1}，∴（∁RA）∩B={x|x≤﹣1}∩{﹣2，﹣1，0，1}={﹣2，﹣1}．故选：B．2．复数等于（）A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简．【解答】解：复数===2+i，故选C．3．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A．2B．2C．8D．8【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得右焦点，求出抛物线的焦点，解方程可得p=8．【解答】解：双曲线的a=3，b=，c==4，可得右焦点为（4，0），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），由题意可得=4，解得p=8，故选：C．4．运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）第6页（共20页）A．3B．2C．﹣1D．﹣2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得n=1，S=1，满足条件n≤5，S=0，n=2满足条件n≤5，S=2，n=3满足条件n≤5，S=﹣1，n=4满足条件n≤5，S=3，n=5满足条件n≤5，S=﹣2，n=6不满足条件n≤5，退出循环，输出S的值为﹣2．故选：B．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由已知条件，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能求出结果．【解答】解：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β或α与β相交，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误．故选：B．第7页（共20页）6．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据题意，由分步计数原理可得a、b的情况数目，进而分析可得若方程x2+2ax+b2=0有实根，则△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2，列举可得a2≥b2的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，a是从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取的一个数，a有5种情况，b是从集合{1，2，3}中随机抽取的一个数，b有3种情况，则方程x2+2ax+b2=0有3×5=15种情况，若方程x2+2ax+b2=0有实根，则△=（2a）2﹣4b2＞0，即a＞b，此时有，，，，，，，，共9种情况；则方程x2+2ax+b2=0有实根的概率P==故选C7．若实数x，y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）A．16B．12C．11D．9【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，而由z=x+3y得：y=﹣x+，显然直线过A（2，3）时，z最大，求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（2，3），第8页（共20页）而由z=x+3y得：y=﹣x+，显然直线过A（2，3）时，z最大，z的最大值是：11，故选：C．8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cosωx的图象，只需把y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用图象的最低点确定A的值，利用周期确定ω，再根据图象过点（，0），确定φ的值，即可求函数f（x）的解析式，由y=cos2x=sin[2（x++）]，根据图象的变换规律即可得解．【解答】解：∵T=4×（）=π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵图象过点（，0），∴sin（2×+φ）=0，∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]；∵y=cos2x=sin（2x+）=sin[2（x+）]=sin[2（x++）]；∴函数f（x）的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y=sin2x的图象．故选：D．9．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上第9页（共20页）为“凹函数”；已知f（x）=﹣x在（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[，5]C．（2，+∞）D．（，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】利用导数的运算法则可得f′（x），f″（x）．由于函数f（x）在区间（1，3）上为“凹函数”，可得：在区间（1，3）上f″（x）＞0恒成立，解得即可．【解答】解：∵f（x）=﹣x，∴f′（x）=﹣x3+x2+3x，∴f″（x）=﹣x2+mx+3，由题意得：﹣x2+mx+3＞0在（1，3）恒成立，即m＞x﹣在（1，3）恒成立，令g（x）=x﹣，g′（x）=1+＞0，∴g（x）在（1，3）递增，g（x）max＜g（3）=2，故m≥2，故选：A．10．已知点P为抛物线C：x2=2py（p＞0）上任意一点，O为坐标原点，点M（0，m），若|PM|≥|OM|恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，p]D．（﹣∞，2p]【考点】抛物线的简单性质．【分析】