2016届江西省萍乡市高三(下)第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

第1页共15页2016届江西省萍乡市高三（下）第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题1．若(1)zii，则||z等于（）A．1B．32C．22D．12【答案】C【解析】试题分析：112,11122iiiizziii。【考点】复数概念即运算。【易错点晴】在复数的四则运算上，经常由于疏忽而导致计算结果出错。除了加减乘除运算外，有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识，综合起来加以分析。在复数的四则运算中，只对加法和乘法法则给出规定，而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算。复数代数形式的运算类似多项式的运算，加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律，复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式，除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题。2．已知集合{|1}Axx，2{|20}Bxxx，则()RCAB（）A．(0,1)B．[0,1]C．(0,1)D．[0,1]【答案】C【解析】试题分析：0,2B，,1RCA,()0,1RCAB。【考点】集合交并补。3．已知10sin10，且3(,)2，则tan2（）A．34B．34C．13D．13【答案】A【解析】试题分析：3(,)2，23cos1sin1010，2212tan33tan,tan2831tan49。【考点】三角函数恒等变形。4．公元263年左右，中国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。下图是利用刘徽的“割圆术”设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：sin150.2588，第2页共15页sin7.50.1305）A．6B．12C．24D．48【答案】C【解析】试题分析：1360336sin262S，判断为否，12n，136012sin3212S，判断为否，24n，此时3.10S，判断为是，退出循环，输出24n。【考点】算法与程序框图。5．过点(1,2)P的直线与圆224xy相切，且与直线10axy垂直，则实数a的值为（）A．0B．43C．34D．0或34【答案】C【解析】试题分析：切线斜率为1a，方程为121,210yxxayaa，圆心到直线距离为22121aa，解得34a。【考点】直线与圆的位置关系。6．已知a为单位向量，(3,4)ab，则|1|ab的最大值为（）A．6B．5C．4D．3【答案】B【解析】试题分析：设cos,sina，3cos,4sinb，113coscos4sinsinab4sin3cos5sin，最大值为5。【考点】向量运算。7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长是（）第3页共15页A．42B．25C．6D．43【答案】D【解析】试题分析：由图可知，该几何体为四棱锥，如下图所示，最长的棱长为163243AB。【考点】三视图。8．已知实数,xy满足约束条件207010xyxyx，则yxzx的取值范围为（）A．14[,7]5B．[4,7]C．14[,4]5D．[7,)【答案】A【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，1411,1,75OAOByxyzkkxx。【考点】线性规划。9．已知函数()cos()fxAx的图象如图所示，则5()6f（）第4页共15页A．23B．12C．12D．23【答案】D【解析】试题分析：2,23关于点7,012的对称点为22,33，而711,1212的对称轴为34，25,36的对称轴也为34，故52()63f。【考点】三角函数图象与性质。10．已知抛物线28yx与双曲线2221xya的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若||5MF，则该双曲线的渐近线方程为（）A．530xyB．350xyC．450xyD．540xy【答案】A【解析】试题分析：||5MF，故3,26M，代入双曲线方程，293241,5aa，故渐近线为530xy。【考点】直线与圆锥曲线位置关系。11．老师提出的一个关于引力波的问题需要甲、乙两位同学回答，已知甲、乙两位同学能正确回答该问题的概率分别为0.4与0.5，在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（）A．15B．27C．29D．910【答案】B【解析】试题分析：这个问题已被解答的概率为110.40.50.7，两个都能正确回答的概率为0.40.50.2，故所求概率为27。【考点】条件概型。【思路点晴】事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率.条件概率表示为(|)PAB，读作“在B条件下A的概率”。条件概率在概率论中占有相当重要的地位，是概率论基础知识中的一个基本概念。在条件概率定义的基础上，进一步探讨概率的性质、计算极其重要公式，有助于解决各种条件概率方面的问题.条件概率在题目中会有明显的提示，如本题中“在这个问题已被解答的条件下”。第5页共15页12．已知函数()22xfx，()(2)gxaxxa同时满足条件：①,()0xRfx或()0gx；②(,4)x，使得()()0fxgx，则实数a的取值范围是（）A．(2,0)B．(,2)C．(8,0)D．(0,2)【答案】B【解析】试题分析：当1a时，2gxxx，当2,x时，0,0fxgx，不符合题意，排除D。当1a时，2gxxx，当,2x，0,0fxgx，不符合题意，排除A，C，故选B。【考点】函数图象与性质。【思路点晴】本题考查指数函数、二次函数图象与性质，考查了简单的分类讨论思想，考查了特殊值排除法这个选择题中的解题技巧。在题目已知的两个函数中fx是由函数2xy向下平移两个单位所得，所以当,1x时，0fx，1,x时，0fx，对于函数gx它的两个零点是0,2a，当我们选取特殊值1,1aa时，结合图象就能解决本题。二、填空题13．在621()xx的展开式中，常数项为。【答案】15【解析】试题分析：常数项为224621Cxx，系数为2615C。【考点】二项式展开式。14．已知函数()xxfxaee的导函数'()fx的图象关于原点对称，则a。【答案】1【解析】试题分析：依题意'xxfxaee关于原点对称，1a时'fx为奇函数，符合题意。【考点】函数导数。15．P是长宽高分别为12,3,4的长方体外接球表面上一动点，设P到长方体各个面所在平面的距离为d，则d的取值范围是。【答案】250,2【解析】试题分析：当P在长方体各个顶点时，距离0d.P到长方体各个面所在平面的距离，也即是半径减去或加上圆心到各个面的距离，依题意可知，圆的半径为第6页共15页1449161322，所以距离分别为131211331349,5,22222222和13122513313417,8,22222222，故取值范围为250,2。【考点】立体几何。【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x，常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心，可利用正弦定理来求。若长方体长宽高分别为,,abc则其体对角线长为222abc；长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法：过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线，交点即为球心。16．在ABC中，2AB，1cos8A，点D在BC边上，且满足2AD，2BDDC，则cosB的值为。【答案】34【解析】试题分析：如图所示，221342xbb，2224294cos412xxbBxx，联立解得1x，故3cos4B.b2xx22CABD【考点】解三角形。【思路点晴】本题考查解三角形、正弦定理和余弦定理.对于解三角形的题目，我们先将图形画出来，其中2AD，而题目又有条件2BDDC，那么我们就可以设,2BDxCDx，由此得出完整的图形如上图所示.题目给了1cos8A，那么第一个方程就用角A的余弦定理来表示，而题目要求的是角B的余弦值，那么我们就在大小两个三角形中分别用余弦定理表示cosB，联立方程组就可以求解。三、解答题17．已知数列{}na满足：132a，1522nnnaa。（1）求数列{}na的通项公式；（2）求数列{}na中所有整数项的值.【答案】（1）522nnna；（2）22a。【解析】试题分析：（1）用配凑法将已知条件化成11225nnnnaa，即数列{2}nna第7页共15页是公差为5的等差数列，由此求出522nnna；（2）观察522nnna，除12339,2,28aaa外，2n增长速度比52n要快，所以后面的数值都小于1。故整数项只有22a。试题解析：（1）由1522nnnaa，得11225nnnnaa，即11225nnnnaa，∴数列{2}nna是公差为5的等差数列。首项1123a，∴235(1)52nnann，∴522nnna。（2）若522nnna为整数，则n必为偶数，又1115(1)25275222nnnnnnnnaa，∴1n时，10nnaa；2n时，10nnaa，∴12234,naaaaaa，由于22a，498a，67116a，∴{}na中整数项只有第2项，且22a。【考点】等差、等比数列。18．如下图，ABC是等腰直角三角形，90ACB，2ACa，,DE分别为,ACAB的中点，沿DE将ADE折起，使得二面角'ACBA为45。（1）求证：'CDAE；（2）求平面'ACD与平面'ABE夹角的余弦值。【答案】（1）证明见解析；（2）33。【解析】试题分析：（1）先证DE面'AAC、BC面'AAC，即ACD为二面角'ACBA的平面角，所以45ACD，根据'ADCD，则'CDAD，又CDDE，则CD面'ADE，故'CDAE；（2）',,DCDEDA两两垂直，以D为原点，',,DCDEDA所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系.利用法向量求平面'ACD与平面'ABE夹角的余弦值。第8页共15页试题解析：（1）90ACB，,DE分别为,ACAB的中点，∴//DECB，∴'DEDA。又DEAC，且'ACADD，',ACAD面'AAC，则DE面'AAC，又∴//DECB，则BC面'AAC，即ACD为二面角'ACBA的平面角，所以45ACD，又'ADCD，则'CDAD，又CDDE，'DEADD，',ADDE面'ADE，则CD面'ADE，因为'AE面'ADE，故'CDAE。（2）由（1）知，',,DCDEDA两两垂直，以D为原点，',,DCDEDA所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则'(0,0,),(,2,0),(0,,0)AaBaaEa，''(,2,),(0,,)ABaaaAEaa。设平面'ABE的法向量为(,,)mxyz，由''200mABaxayaxmAEayaz，得20xyzyz，可取(1,1,1)m，平面'ACD的一个法向量(0,1,0)n，故1011103