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【想一想】(1)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运动，也适用于卫星绕地球运动，若一颗卫星绕地球做椭圆轨道运动，则它在近地点和远地点的速度大小关系如何？(2)请根据万有引力定律和牛顿第二定律分析地球表面上不同质量的物体的重力加速度大小关系．第4单元万有引力与航天基础探究万有引力定律提示：(1)由于卫星与地球的连线在单位时间内扫过的面积相等，故卫星在近地点的速度大于在远地点的速度．(2)由GMmR2＝mg可知，g＝GMR2，可见，物体的重力加速度大小与物体的质量大小无关．【填一填】1．开普勒行星运动定律[温馨提示]均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离．2.万有引力定律(1)公式：F＝Gm1m2r2，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫引力常量．(2)公式适用条件：此公式适用于间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．质点【想一想】在地球周围飞行着许多人造地球卫星，由于用途不同，它们的运行轨道也不相同，请思考以下问题：(1)若各卫星的轨道均为圆形轨道，这些轨道有什么共同点？(2)各圆形轨道卫星的飞行速度是不同的，卫星离地面越近，其飞行速度越大还是越小，它们的最大速度是多少？提示：(1)各圆形轨道的圆心均为地球的球心．(2)离地面越近的卫星，飞行速度越大，卫星沿圆形轨道运行的最大速度为7.9km/s，也就是第一宇宙速度．卫星运行规律及宇宙速度2．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于，其运行线速度约为km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过．3．三种宇宙速度比较南北两极地球的半径7.9地球的球心【想一想】在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的变化而变化，为什么日常生活中，当物体的速度发生变化时，并没有发现其质量发生变化？提示：只有高速运动的物体，速度变化时，质量的变化才比较明显，日常生活中遇到的都是低速物体，所以质量可认为没变．【填一填】1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随而改变；(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是的．经典时空观和相对论时空观运动状态相同(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是的．2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m＝m01－v2c2.不同答案：C基础自测1．关于万有引力公式F＝Gm1m2r2，以下说法中正确的是()A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的解析：万有引力公式F＝Gm1m2r，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.2．下列说法正确的是()A．牛顿运动定律就是经典力学B．经典力学的基础是牛顿运动定律C．牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题D．经典力学可以解决自然界中所有的问题解析：经典力学并不等于牛顿运动定律，牛顿运动定律只是经典力学的基础，经典力学并非万能，也有其适用范围，并不能解决自然界中所有的问题，没有哪个理论可以解决自然界中所有的问题．因此只有搞清牛顿运动定律和经典力学的隶属关系，明确经典力学的适用范围，才能正确解决此类问题．答案：B3．关于地球的同步卫星下列说法正确的是()A．所有地球的同步卫星一定处于赤道的正上方，但不一定在同一个圆周上B．所有地球的同步卫星离地面的高度相同，但不一定位于赤道的正上方C．所有地球的同步卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期一定相同D．所有地球同步卫星的向心加速度大小、线速度大小、角速度和周期一定相等解析：同步卫星高度一定，故A错；同步卫星都在赤道面内，故B错；向心加速度、线速度都是矢量，故C错、D对．答案：D答案：B4．一宇航员在某星球上以速度v0竖直上抛一物体，经t秒落回原处，已知该星球半径为R，那么该星球的第一宇宙速度是()A.v0tRB．2v0RtC．v0RtD.v0Rt解析：设该星球表面重力加速度为g，由竖直上抛知识知，t＝2v0g，所以g＝2v0t；由牛顿第二定律得：mg＝mv2R，所以v＝gR＝2v0Rt.【互动探究】1．解答卫星运行问题的基本思路是什么？2．地球卫星主要有哪几类？它们的区别是什么？3．卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度等随轨道半径变化的规律是什么？【核心突破】1．一种模型无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动．人造卫星的运行问题3．三个物体求解卫星运动问题时，一定要认清三个物体(赤道上的物体、近地卫星、同步卫星)之间的关系.2．两条思路(1)万有引力提供向心力即GMmr2＝ma.(2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，称“黄金代换”．4.四个关系“四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系．GMmr2ma→a＝GMr2→a∝1r2mv2r→v＝GMr→v∝1rmω2r→ω＝GMr3→ω∝1r3m4π2T2r→T＝4π2r3GM→T∝r3越高越慢【典例1】(2013年高考广东理综)如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是()A．甲的向心加速度比乙的小B．甲的运行周期比乙的小C．甲的角速度比乙的大D．甲的线速度比乙的大[答案]A[自主解答]本题考查万有引力定律在天体中的应用，解题的关键是明确万有引力提供了卫星的向心力．由GMmr2＝ma，得卫星的向心加速度与行星的质量成正比，即甲的向心加速度比乙的小，选项A正确；由GMmr2＝mr4π2T2，得甲的运行周期比乙的大，选项B错误；由GMmr2＝mω2r，得甲的角速度比乙的小，选项C错误；由GMmr2＝mv2r，得甲的线速度比乙的小，选项D错误．1．(2012年高考浙江理综卷)如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是()A．太阳对各小行星的引力相同B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值答案：C解析：因各小行星到太阳中心的距离不同，皆大于地球到太阳中心的距离，各小行星的质量关系不清楚，根据万有引力公式GMmr2＝mv2r＝m(2πT)2r＝ma，知太阳对各小行星的引力不一定相同，各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，则选项A、B错误，由a＝GMr2和v2＝GMr，r越小，a越大，r越大，v越小，则选项C正确，D错误．天体质量和密度的估算【互动探究】1．能否根据行星的运行规律计算行星的质量和密度？2．要计算天体的质量和密度，基本思路是什么？需要知道哪些物理量？【核心突破】1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于GMmR2＝mg，故天体质量M＝gR2G，天体密度ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.(1)由万有引力等于向心力，即GMmr2＝m4π2T2r，得出中心天体质量M＝4π2r3GT2；(2)若已知天体的半径R，则天体的平均密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3；(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天体的密度．[思路点拨](1)明确行星表面附近的绕行卫星的轨道半径与行星半径的大小关系．(2)弹簧测力计的示数、物体的重力与其所受万有引力的大小关系．【典例2】(2012年高考福建理综卷)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A.mv2GNB.mv4GNC.Nv2GmD.Nv4Gm[答案]B[自主解答]由题意知行星表面的重力加速度g＝Nm，又在行星表面有g＝GMR2，卫星在行星表面运行时有m′g＝m′v2R，联立解得M＝mv4GN，故选项B正确．2．(2013年高考全国卷大纲版)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127min.已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103km.利用以上数据估算月球的质量约为()A．8.1×1010kgB．7.4×1013kgC．5.4×1019kgD．7.4×1022kg答案：D解析：由GMmr2＝mr4πT22得M＝4π2r3GT2，又r＝R月＋h，代入数值得月球质量M≈7.4×1022kg，选项D正确．卫星的变轨问题【互动探究】1．卫星为什么会变轨？变轨的方法有哪些？2．卫星变轨时，各物理量如何变化？【核心突破】1．圆轨道上的稳定运行GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m(2πT)2r2．变轨运行分析(1)当v增大时，所需向心力mv2r增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝GMr知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．(2)当卫星的速度突然减小时，向心力mv2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝GMr知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．【典例3】(2014年淮北模拟)按照我国月球探测活动计划，共分两步，第一步“绕月”工程，圆满完成任务后，再开展第二步“落月”工程．假设月球半径为R.月球表面的重力加速度为g0.飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．下列判断正确的是()A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率v＝g0RB．飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间为2πRg0C．飞船在A点点火变轨的瞬间，动能增加D．飞船在A点的线速度大于在B点的线速度[思路点拨]变轨是通过在两轨道的切点瞬间改变速度来实现的，但点火后瞬间的速度并不是稳定运行时的速度．[答案]B[自主解答]在轨道Ⅰ上，r＝4R，万有引力为飞船做圆周运动提供向心力GMmr2＝mv2r，在月球表面GMmR2＝mg0，v＝12g0R，A错误；由GMmR2＝m(2πT)2R知，T＝2πRg0，B正确．飞船在A点点火变轨的瞬间，做近心运动应减速，动能减小，故C错误；椭圆轨道Ⅱ的近月点B线速度大，故D错误．3．2013年6月11日17时38分02.666秒，神舟十号飞船由长征二号F改进型运载火箭成功发射．在距地面343公里的近圆轨道上，与等待已久的“天宫一号”实现交会对接、分离，于6月26日成功返回地面．下列关于“神舟十号”与“天宫一号”的说法正确的是()A．若知道“天宫一号”的绕行周期，再利用引力常量，就可算出地球的质量B．在对接前，“神舟十号”轨道应稍低于“天宫一号”的轨道，然后让“神舟十号”加速追上“天宫一号”并与之对接C．在对接前，应让“神舟十