第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考解答

物理时空第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题第1页第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考解答题号一二三四五六总计全卷共六题，总分140分一、（20分）在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管上端封闭，下端开口．已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管的长度76cml，管内封闭有31.010moln－的空气，保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低10℃，问在此过程中管内空气放出的热量为多少？已知管外大气的压强为76cm汞柱高，每摩尔空气的内能VUCT，其中T为绝对温度，常量1V20.5J(molK)C－，普适气体常量18.31J(molK)R－。二、（20分）如图复17-2所示，在真空中有一个折射率为n（0nn，0n为真空的折射率）、半径为r的质地均匀的小球。频率为的细激光束在真空中沿直线BC传播，直线BC与小球球心O的距离为l（lr），光束于小球体表面的点C点经折射进入小球（小球成为光传播的介质），并于小球表面的点D点又经折射进入真空．设激光束的频率在上述两次折射后保持不变．求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小．三、（25分）1995年，美国费米国家实验室CDF实验组和DO实验组在质子反质子对撞机TEVATRON的实验中，观察到了顶夸克，测得它的静止质量1122511.7510eV/c3.110kgm－，寿命240.410s－，这是近十几年来粒子物理研究最重要的实验进展之一．1．正、反顶夸克之间的强相互作用势能可写为4()3SaUrkr，式中r是正、反顶夸克之间的距离，0.12Sa是强相互作用耦合常数，k是与单位制有关的常数，在国际单位制中250.31910Jmk－．为估算正、反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统，可把束缚状态设想为正反顶夸克在彼此间的吸引力作用下绕它们连线的中点做匀速圆周运动．如能构成束缚态，试用玻尔理论确定系统处于基态中正、反顶夸克之间的距离0r．已知处于束缚态的正、反夸克粒子满足量子化条件，即2000年物理时空第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题第2页021,2,3,22rhmvnn式中02rmv为一个粒子的动量mv与其轨道半径02r的乘积，n为量子数，346.6310Jsh－为普朗克常量．2．试求正、反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期T．你认为正、反顶夸克的这种束缚态能存在吗?四、（25分）宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的质量小得很多，飞行器的速率为0v，小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的6倍．有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系，于是他便设计了如下方案：Ⅰ.当飞行器在其圆周轨道的适当位置时，突然点燃飞行器上的喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道；Ⅱ.飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；Ⅲ.小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰，不计燃烧的燃料质量．1．试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系；2．设在上述方案中，飞行器从发动机取得的能量为1E．如果不采取上述方案而是令飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系．采用这种办法时，飞行器从发动机取得的能量的最小值用2E表示，问12EE为多少?五、（25分）在真空中建立一坐标系，以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，z轴垂直纸面向里（图复17-5）．在0yL的区域内有匀强磁场，0.80mL，磁场的磁感强度的方向沿z轴的正方向，其大小0.10TB．今把一荷质比1/50Ckgqm－的带正电质点在0x，0.20my，0z处静止释放，将带电质点过原点的时刻定为0t时刻，求带电质点在磁场中任一时刻t的位置坐标．并求它刚离开磁场时的位置和速度．取重力加速度210msg－。六、（25分）普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界物理时空第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题第3页面上发生多次全反射．现在利用普通光纤测量流体F的折射率．实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中．令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心O，经端面折射进入光纤，在光纤中传播．由点O出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为0，如图复17-6-1所示．最后光从另一端面出射进入流体F．在距出射端面1h处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为1d，然后移动光屏D至距光纤出射端面2h处，再测出圆形光斑的直径2d，如图复17-6-2所示．1．若已知A和B的折射率分别为An与Bn，求被测流体F的折射率Fn的表达式．2．若An、Bn和0均为未知量，如何通过进一步的实验以测出Fn的值?第十七届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、参考解答设玻璃管内空气柱的长度为h，大气压强为0p，管内空气的压强为p，水银密度为，重力加速度为g，由图复解17-1-1可知0()plhgp（1）根据题给的数据，可知0plg，得pgh（2）若玻璃管的横截面积为S，则管内空气的体积为VSh（3）由（2）、（3）式得VpgS（4）即管内空气的压强与其体积成正比，由克拉珀龙方程pVnRT得2VgnRTS（5）由（5）式可知，随着温度降低，管内空气的体积变小，根据（4）式可知管内空气的压强也变小，压强随体积的变化关系为物理时空第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题第4页pV图上过原点的直线，如图复解17-1-2所示．在管内气体的温度由1T降到2T的过程中，气体的体积由1V变到2V，体积缩小，外界对气体做正功，功的数值可用图中划有斜线的梯形面积来表示，即有221212121()22VVVWgVVgSSSV（6）管内空气内能的变化V21()UnCTT（7）设Q为外界传给气体的热量，则由热力学第一定律WQU，有QUW（8）由（5）、（6）、（7）、（8）式代入得V211()2QnTTCR（9）代入有关数据得0.247JQ0Q表示管内空气放出热量，故空气放出的热量为0.247JQQ（10）评分标准：本题20分（1）式1分，（4）式5分，（6）式7分，（7）式1分，（8）式2分，（9）式1分，（10）式3分。二、参考解答在由直线BC与小球球心O所确定的平面中，激光光束两次折射的光路BCDE如图复解17-2所示，图中入射光线BC与出射光线DE的延长线交于G，按照光的折射定律有0sinsinnn（1）式中与分别是相应的入射角和折射角，由几何关系还可知sinlr（2）激光光束经两次折射，频率保持不变，故在两次折射前后，光束中一个光子的动量的大小p和p相等，即hppc（3）式中c为真空中的光速，h为普朗克常量．因射入小球的光束中光子的动量p沿BC方向，射出小球的物理时空第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题第5页光束中光子的动量p沿DE方向，光子动量的方向由于光束的折射而偏转了一个角度2，由图中几何关系可知22()（4）若取线段1GN的长度正比于光子动量p，2GN的长度正比于光子动量p，则线段12NN的长度正比于光子动量的改变量p，由几何关系得2sin2sinhppc（5）12GNN为等腰三角形，其底边上的高GH与CD平行，故光子动量的改变量p的方向沿垂直CD的方向，且由G指向球心O．光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间，即02cos/rtcnn（6）式中0/cnn是光在小球内的传播速率。按照牛顿第二定律，光子所受小球的平均作用力的大小为0sincosnhpftnr（7）按照牛顿第三定律，光子对小球的平均作用力大小Ff，即0sincosnhFnr（8）力的方向由点O指向点G．由（1）、（2）、（4）及（8）式，经过三角函数关系运算，最后可得22022201(/)nlhrlFnrnrnl（9）评分标准：本题20分（1）式1分，（5）式8分，（6）式4分，（8）式3分，得到（9）式再给4分。三、参考解答1．相距为r的电量为1Q与2Q的两点电荷之间的库仑力QF与电势能QU公式为122QQQQFkr＝12QQQQUkr（1）现在已知正反顶夸克之间的强相互作用势能为4()3SaUrkr根据直接类比可知，正反顶夸克之间的强相互作用力为24()3SaFrkr（2）物理时空第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题第6页设正反顶夸克绕其连线的中点做匀速圆周运动的速率为v，因二者相距0r，二者所受的向心力均为0()Fr，二者的运动方程均为22004/23tSamvkrr（3）由题给的量子化条件，粒子处于基态时，取量子数1n，得0222trhmv（4）由（3）、（4）两式解得20238Sthrmak（5）代入数值得1701.410mr－（6）2.由（3）与（4）两式得43Savkh（7）由v和0r可算出正反顶夸克做匀速圆周运动的周期T30222(/2)2(4/3)tSrhTvmka（8）代入数值得241.810sT－（9）由此可得/0.2T（10）因正反顶夸克的寿命只有它们组成的束缚系统的周期的1／5，故正反顶夸克的束缚态通常是不存在的．评分标准：本题25分1.15分。（2）式4分，（5）式9分，求得（6）式再给2分。2.10分。（8）式3分。（9）式1分，正确求得（10）式并由此指出正反顶夸克不能形成束缚态给6分。四、参考解答1．设太阳的质量为0M，飞行器的质量为m，飞行器绕太阳做圆周运动的轨道半径为R．根据所设计的方案，可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处出发，沿着半个椭圆轨道到达小行星轨道上的，该椭圆既与飞行器原来的圆轨道相切，又与小行星的圆轨道相切．要使飞行器沿此椭圆轨道运动，应点燃发动机使飞行器的速度在极短的时间内，由0v变为某一值0u．设物理时空第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题第7页飞行器沿椭圆轨道到达小行星轨道时的速度为u，因大小为0u和u的这两个速度的方向都与椭圆的长轴垂直，由开普勒第二定律可得06uRuR（1）由能量关系，有2200011226MmMmmumuGRRG（2）由牛顿万有引力定律，有2002MmvGmRR或00GMvR（3）解（1）、（2）、（3）三式得00127uv（4）0121uv（5）设小行星绕太阳运动的速度为v，小行星的质量M，由牛顿万有引力定律2026(6)MMvGMRR得00166GMvvR（6）可以看出vu（7）由此可见，只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道，使得它到达小行星轨道处时，小行星的前缘也正好运动到该处，则飞行器就能被小行星撞击．可以把小行星看做是相对静止的，飞行器以相对速度为vu射向小行星，由于小行星的质量比飞行器的质量大得多，碰撞后，飞行器以同样的速率vu弹回，即碰撞后，飞行器相对小行星的速度的大小为vu，方向与小行星的速度的方向相同，故飞行器相对太阳的速度为12uvvuvu或将（5）、（6）式代入得1021321uv