2016届高考数学一轮复习 第6章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课后限时自测 理

1【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第6章第2节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题课后限时自测理苏教版[A级基础达标练]一、填空题1．(2014·广东高考改编)若变量x，y满足约束条件x＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，，则z＝2x＋y的最大值等于________．[解析]作出约束条件下的可行域如图(阴影部分)，当直线y＝－2x＋z经过点A(4,2)时，z取最大值为10.[答案]102．(2014·扬州调研)已知x，y满足约束条件x＋y＋5≥0，x－y≤0，y≤0，则z＝3x＋4y的最小值是________．[解析]可行区域如图所示．在P－52，－52处取到最小值－17.5.2[答案]－17.53．已知实数x，y满足x≥0，y－x＋1≤0，y－2x＋4≥0，若z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a＝________.[解析]依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.[答案]14．(2013·山东高考改编)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为________．[解析]线性约束条件表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由{x＋2y－1＝0，x＋y－8＝0，得A(3，－1)．3当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM＝－13.[答案]－135．(2013·陕西高考改编)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域内，则2x－y的最小值是________．[解析]曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图阴影部分所示．当直线l：y＝2x向左平移时，(2x－y)的值在逐渐变小，当l通过点A(－2,2)时，(2x－y)min＝－6.[答案]－66．已知点P(x，y)满足x－4y＋3≤0，3x＋5y≤25，x－1≥0，定点为A(2,0)，则|OP→|sin∠AOP(O为坐标原点)的最大值为________．[解析]可行域如图阴影部分所示，A(2,0)在x正半轴上，所以|OP→|·sin∠AOP即为P点纵坐标．当P位于点B时，其纵坐标取得最大值225.[答案]2257．(2014·兴化安丰中学检测)已知不等式组y≤xy≥－xx≤a表示的平面区域S的面积为4，若点P(x，y)∈S，则z＝2x＋y的最大值为________．4[解析]由约束条件可作图如下，得S＝12×a×2a＝a2，则a2＝4，a＝2，故图中点C(2,2)，平移直线得当过点C(2,2)时zmax＝2×2＋2＝6.[答案]68．(2014·江西高考)x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________．[解析]由绝对值的几何意义知，|x|＋|x－1|是数轴上的点x到原点和点1的距离之和，所以|x|＋|x－1|≥1，当且仅当x∈[0,1]时取“＝”．同理|y|＋|y－1|≥1，当且仅当y∈[0,1]时取“＝”．∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2.而|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2，此时，x∈[0,1]，y∈[0,1]，∴(x＋y)∈[0,2]．[答案][0,2]二、解答题9．(2012·四川高考改编)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，试求公司共可获得的最大利润．[解]设生产甲产品x桶，乙产品y桶，每天利润为z元，则x＋2y≤122x＋y≤12x≥0y≥0x，y∈N，且z＝300x＋400y.5作出可行域，如图阴影部分所示．作直线300x＋400y＝0，向右上平移，过点A时，z＝300x＋400y取最大值，由x＋2y＝122x＋y＝12，得x＝4y＝4，∴A(4,4)，∴zmax＝300×4＋400×4＝2800.故公司共可获得的最大利润为2800元．10．(2012·安徽高考改编)已知实数x，y满足约束条件x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3.(1)求z＝x－y的最小值和最大值；(2)若z＝x2＋y2，求z的取值范围．[解]作约束条件{x≥0，x＋2y≥3，x＋y≤3满足的可行域，如图所示为△ABC及其内部．联立{x＋2y＝3，x＋y＝3.得A(1,1)．6解方程组{x＝0，x＋y＝3，得点B(0,3)．(1)由z＝x－y，得y＝x－z.平移直线x－y＝0，则当其过点B(0,3)时，截距－z最大，即z最小；当过点A(1,1)时，截距－z最小，即z最大．∴zmin＝0－3＝－3；zmax＝1－1＝0.(2)过O(0,0)作直线x＋2y＝3的垂线l交于点N.观察可行域知，可行域内的点B、N到原点的距离分别达到最大与最小．又|ON|＝|0＋0－3|12＋22＝355，|OB|＝3.∴z的取值范围是355，3.[B级能力提升练]一、填空题1．(2014·山东高考改编)已知x，y满足约束条件x－y－1≤02x－y－3≥0，当目标函数z＝ax＋by(a0，b0)在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为____________．[解析]法一线性约束条件所表示的可行域如图所示．由x－y－1＝02x－y－3＝0，解得x＝2y＝1，所以z＝ax＋by在A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝25，a2＋b2＝a2＋(25－2a)2＝(5a－4)2＋4≥4.法二画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝07的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝25.又因为a2＋b2是原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，故当a2＋b2为原点到直线2a＋b－25＝0的距离时最小，所以a2＋b2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a2＋b2的最小值是4.[答案]42．(2013·江苏高考)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．[解析]由于y′＝2x，所以抛物线在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.画出可行域(如图)．设x＋2y＝z，则y＝－12x＋12z.当直线y＝－12x＋12z经过点A12，0，B(0，－1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax＝12，最小值zmin＝－2.故取值范围是－2，12.[答案]－2，12二、解答题3．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.8如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？[解]设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元．由题意知z＝2.5x＋4y，且x，y满足x≥0，y≥0，12x＋8y≥646x＋6y≥42，6x＋10y≥54.即x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.作出约束条件表示的可行域(如图所示)．由3x＋5y＝27，x＋y＝7，得x＝4，y＝3.让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．所以最优解为x＝4，y＝3.因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．