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1第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础回顾Ｋ一、二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，设有直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则(1)若B0，Ax0＋By0＋C0，则点P在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；(2)若B0，Ax0＋By0＋C0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域(注：若B为负，则可先将其变为正)．由此可知，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它们的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负情况，即可判断Ax＋By＋C0表示直线哪一侧的平面区域．特殊地，当C≠0时，直线不过原点，通常把原点作为特殊点．二、线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域)，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：(1)根据题意，设出变量x，y；(2)找出线性约束条件；(3)确定线性目标函数z＝f(x，y)；(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)；(5)利用线性目标函数作平行直线系f(x，y)＝t(t为参数)；(6)观察图形，找到直线f(x，y)＝t在可行域上使t取得所求最值的位置，以确定最优解，给出答案．生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题．基础自测Ｋ1．(2013·天津卷)设变量x，y满足约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的2最小值为(A)A．－7B．－4C．1D．2解析：可行域如图阴影部分(含边界)，令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，当直线l过A点时，z取得最小值．由y＝3，x－y－2＝0，得A(5，3)．所以z最小＝3－2×5＝－7，故选A.2．设x，y满足约束条件x≥0，y≥x，4x＋3y≤12，则2y＋2x＋1的最大值是(D)A．5B．6C．8D．10解析：画出可行域如图，y＋1x＋1的几何意义是点M(－1，－1)与可行域内的点P(x，y)连线的斜率，当点P移动到点N(0，4)时，斜率最大，最大值为4－（－1）0－（－1）＝5，∴2y＋2x＋1＝2×5＝10.故选D.3．已知x≥1，x－y＋1≤0，2x－y－2≤0，则x2＋y2的最小值是5．解析：令z＝x2＋y2，画出可行域，如图所示，令d＝x2＋y2，即可行域中的点到原点的距离，由图得dmin＝1＋4＝5，∴zmin＝d2＝5.4．已知实数x，y，z满足条件x－1≥0，x－y－1≤0，z＝y－ax，x－3y＋3≥0，若使z取得最大值的有序数对(x，y)有无数个，则a＝13．高考方向1.以选择题、填空题的形式考查平面区域问题，常常与图形面积、函数图象、曲线与方程、几何概型等问题联系在一起.2.以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查非线性目标函数的最值或范围问题.3.主要在选择题、填空题中出现，有时也会解答题中出现，考查线性规划的实际应用，属中低档题.3品味高考1．(2013·湖南卷)若变量满足约束条件y≤2x，x＋y≤1，y≥－1，则x＋2y的最大值是(C)A．－52B．0C.53D.52解析：区域为三角形，直线u＝x＋2y经过三角形顶点13，23时，u＝53最大．故选C.2．(2014·安徽卷)x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(D)A.12或－1B．2或12C．2或1D．2或－1解析：结合图形求解．约束条件对应的平面区域是以直线x＋y－2＝0，x－2y－2＝0和2x－y＋2＝0为边界围成的三角形，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2或－1，故选D.高考测验1．已知变量x，y满足约束条件x－y＋2≤0，x≥1，x＋y－7≤0，则yx的最大值是6．解析：先画出可行域(如图)，yx是可行域内的点M(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，当直线OM过点(1，6)时，yx取得最大值6.2．如果实数x，y满足x－y＋3≥0，x＋y－1≥0，x≤1，若直线x＋ky－1＝0将可行域分成面积相等的两4部分，则实数k的值为13．解析：依题意，直线x－y＋3＝0分别与直线x＋y－1＝0，x＝1的交点为A(－1，2)，B(1，4)，在坐标平面内，画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知要使直线x＋ky－1＝0将该平面区域分成面积相等的两部分，直线x＋ky－1＝0必过线段AB的中点(0，3)，于是有3k－1＝0，k＝13.课时作业1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是(B)A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－1，＋∞)D．(0，1)解析：将x＝－2代入直线x－2y＋4＝0中，得y＝1.因为点(－2，t)在直线上方，∴t1.2．设实数x和y满足约束条件x＋y≤10，x－y≤2，x≥4，则z＝2x＋3y的最小值为(D)A．26B．24C．16D．143．在坐标平面内，不等式组y≥2|x|－1，y≤x＋1所表示的平面区域的面积为(B)A．22B.83C.223D．2解析：作出不等式组所表示的可行域(如图)通过解方程可得A－23，13，B(2，3)，C(0，－1)，E(0，1)，如图可知，S△ABC＝S△ACE＋S△BCE＝12×|CE|×(xB－xA)＝83.54．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(C)A．2B．1C．－13D．－12解析：如图所示，由x＋2y－1＝0，3x＋y－8＝0得A（3，－1）.此时线OM的斜率最小，且为－13.5．给出平面区域G，如图所示，其中A(5，3)，B(2，1)，C(1，5)．若使目标函数P＝ax＋y(a＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为(C)A．4B．2C.12D.23解析：∵目标函数P＝ax＋y，∴y＝－ax＋P.故目标函数值P是直线y＝－ax＋P的截距，当直线y＝－ax＋P的斜率与边界AC的斜率相等时，目标函数P＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，此时，－a＝5－31－5＝－12，即a＝12，故选C.6．设变量x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≥0，2x＋y≤1，则yx＋1的最大值是(B)A．1B.14C.12D．27．若平面区域0≤x≤2，0≤y≤2，y≤kx－2是一个梯形，则实数k的取值范围是(2，＋∞)．6解析：如图，0≤x≤2，0≤y≤2表示的区域是一个正方形，当直线y＝kx－2与线段BC(不含端点)相交时，所给区域表示梯形，由图可得k＞2－（－2）2－0＝2.8．如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为1．解析：设z＝2x－y，当x＝0时，z＝－y，∴当y取得最大值时，z的值最小；∵移动直线2x－y＝0到过点A时y最大，即z的值最小，此时z＝2×1－1＝1.9．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为2_300元．解析：设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租赁费为z元，则z＝200x＋300y，甲、乙两种设备每天生产A，B两类产品的情况见下表：产品设备A类产品/件(≥50)B类产品/件(≥140)租赁费/元甲设备510200乙设备620300x，y满足的关系式为5x＋6y≥50，10x＋20y≥140，x≥0，y≥0，7即x＋65y≥10，x＋2y≥14，x≥0，y≥0.作出不等式表示的平面区域，当对应的直线过两直线x＋65y＝10，x＋2y＝14的交点(4，5)时，目标函数z＝200x＋300y取得最小值为2300元．10．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P、Q两点，且点P、Q关于直线x＋y＝0对称，求不等式组kx－y＋1≥0，kx－my≤0，y≥0表示的平面区域的面积．解析：依题意直线x＋y＝0必经过圆心，∴－k2－m2＝0，∴m＋k＝0，∵直线y＝kx＋1和直线x＋y＝0垂直，∴k＝1，m＝－1.∴不等式组kx－y＋1≥0，kx－my≤0，y≥0，即为x－y＋1≥0，x＋y≤0，y≥0，如图平面区域为三角形ABO，在x－y＋1＝0中，令y＝0，得x＝－1，由x－y＋1＝0，x＋y＝0，得y＝12，∴平面区域的面积为S＝12×1×12＝14.11．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司应如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，才能使公司获得最大的利润，最大利润是多少元？8解析：设派用甲型卡车x(辆)，乙型卡车y(辆)，获得利润为z(元)，z＝450x＋350y，由题意，x、y满足关系式x＋y≤12，2x＋y≤19，10x＋6y≥72，0≤x≤8，0≤y≤7，作出相应的平面区域，z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，联立x＋y＝12，2x＋y＝19解得x＝7，y＝5.∴点A的坐标为(7，5)．∴zmax＝50(9×7＋7×5)＝4900(元)所以该公司派用甲型卡车7辆，乙型卡车5辆，公司的利润最大，最大利润是4900元．