2016届高考数学复习第十三章坐标系与参数方程理(全国通用)

1【大高考】（五年高考真题）2016届高考数学复习第十三章坐标系与参数方程理（全国通用）考点一坐标系与极坐标1．(2014·安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是1,3xtyt(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B．214C.2D．22解析由1,3xtyt消去t得x－y－4＝0，C：ρ＝4cosθ⇒ρ2＝4ρcosθ，∴C：x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，∴C(2，0)，r＝2.∴点C到直线l的距离d＝|2－0－4|2＝2，∴所求弦长＝2r2－d2＝22.故选D.答案D2．(2013安徽，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1解析由ρ＝2cosθ得x2＋y2－2x＝0.∴(x－1)2＋y2＝1，圆的两条垂直于x轴的切线方程为x＝0和x＝2.故极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.答案B3．(2015·广东，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为2A22，7π4，则点A到直线l的距离为________．解析依题已知直线l：2ρsinθ－π4＝2和点A22，7π4可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522.答案5224．(2015·北京，11)在极坐标系中，点2，π3到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为________．解析在平面直角坐标系下，点2，π3化为(1，3)，直线方程为：x＋3y＝6，∴点(1，3)到直线的距离为d＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1.答案15．(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值是________．解析由ρ＝8sinθ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝π3得y＝3x，即3x－y＝0，∴圆心(0，4)到直线y＝3x的距离为2，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6.答案66．(2014·重庆，15)已知直线l的参数方程为2,3xtyt(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．解析直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1，2)．故该点的极径ρ＝x2＋y2＝5.答案57．(2014·天津，13)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．解析圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，直线的直角坐标方程为y＝a，因为△AOB为等边3三角形，则A(±a3，a)，代入圆的方程得a23＋a2＝4a，故a＝3.答案38．(2014·湖南，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l与曲线C：2cos1sinxy(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．解析曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，由直线l与曲线C相交所得的弦长|AB|＝2知，AB为圆的直径，故直线l过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为π4，即斜率为1，从而直线l的普通方程为y＝x－1，从而其极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ－1，即2·ρcosθ＋π4＝1.答案2·ρcosθ＋π4＝19．(2014·广东，14)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．解析由ρsin2θ＝cosθ得ρ2sin2θ＝ρcosθ，其直角坐标方程为y2＝x，ρsinθ＝1的直角坐标方程为y＝1，由2,1yxy得C1和C2的交点为(1，1)．答案(1，1)10．(2013·湖北，16)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为cos,sinxayb(φ为参数，ab0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsinθ＋π4＝22m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．解析l的直角坐标方程为x＋y＝m，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，由直线l与圆O相切，得m＝±2b.从而椭圆的一个焦点为(2b，0)，即c＝2b，所以a＝3b，则离心率e＝ca＝63.答案63411．(2012·湖北，16)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线21(1)xtyt(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．解析由极坐标方程可知，θ＝π4表示射线y＝x(x≥0)，而21(1)xtyt表示y＝(x－2)2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)．联立2(2)yxyx可得，x2－5x＋4＝0，可得x1＋x2＝5.即x0＝y0＝x1＋x22＝52，故M52，52.答案52，5212．(2011·陕西，15C)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B，分别在曲线C1：3cos,4sinxy(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析曲线C1：3cos,4sinxy(θ为参数)的直角坐标系方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知C1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C2：ρ＝1的直角坐标方程是x2＋y2＝1，可知C2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C1和C2上的两点A，B的最短距离．由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB|min＝d－r1－r2＝（3－0）2＋（4－0）2－1－1＝5－1－1＝3.答案313．(2015·江苏，21)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρsinθ－π4－4＝0，求圆C的半径．5解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ22sinθ－22cosθ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为6.14．(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为12.15．(2014·辽宁，23)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得1,2,xxyy由x21＋y21＝1得x2＋y22＝1，即曲线C的方程为x2＋y24＝1.6故C的参数方程为cos2sinxtyt(t为参数)．(2)由221,4220yxxy解得：1,0xy或0,2.xy不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线斜率为k＝12，于是所求直线方程为y－1＝12x－12，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝34sinθ－2cosθ.考点二参数方程1．(2014·北京，3)曲线1cos2sinxy(θ为参数)的对称中心()A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上解析曲线1cos2sinxy(θ为参数)的普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，该曲线为圆，圆心(－1，2)为曲线的对称中心，其在直线y＝－2x上，故选B.答案B2．(2014·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4解析∵cos,sin,xy∴y＝1－x化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρ＝1cosθ＋sinθ.∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.7答案A3．(2015·重庆，15)已知直线l的参数方程为1,1xtyt(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．解析直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．答案(2，π)4．(2014·湖北，16)已知曲线C1的参数方程是33xtty(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.则C1与C2交点的直角坐标为________．解析曲线C1为射线y＝33x(x≥0)．曲线C2为圆x2＋y2＝4.设P为C1与C2的交点，如图，作PQ垂直x轴于点Q.因为tan∠POQ＝33，所以∠POQ＝30°，又∵OP＝2，所以C1与C2的交点P的直角坐标为(3，1)．答案(3，1)5．(2013·湖南，9)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：,xtyta(t为参数)过椭圆C：3cos,2sin,xy(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．解析由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为x29＋y24＝1，所以其右顶点为(3，0)，由题意知0＝3－a，解得a＝3.答案36.(2013·陕西，15C)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．解析由三角函数定义