2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档93直线与圆圆与圆的位置关系

-1-§9.3圆的方程1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．2．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．3．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其中(a，b)为圆心，r为半径．4．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F0，其中圆心为－D2，－E2，半径r＝D2＋E2－4F2.5．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2r2.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－-2-4AF0.(√)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×)(5)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是1，12.(×)1．x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)答案D解析圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心为－D2，－E2，∴圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为(2，－3)．2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1a1B．0a1C．a1或a－1D．a＝±1答案A解析∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)24，∴－1a1.3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a－2或a23B．－23a0C．－2a0D．－2a23答案D解析由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)0，解得－2a23.4．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为(a,0)，易知a－52＋－12＝a－12＋－32，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.-3-题型一求圆的方程例1根据下列条件，求圆的方程．(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．思维点拨(1)设圆的一般方程，利用待定系数法求解．(2)求圆心和半径，确定圆的标准方程．解(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q两点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10.①②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.(2)方法一如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得4x0－23－x0＝1，∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝22，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.方法二设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根据已知条件得y0＝－4x0，3－x02＋－2－y02＝r2，|x0＋y0－1|2＝r，解得x0＝1，y0＝－4，r＝22.因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.思维升华(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法-4-①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．(2014·陕西)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为____________．答案x2＋(y－1)2＝1解析由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.题型二与圆有关的最值问题例2已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．思维点拨显然实数x，y所确定的点在圆x2＋y2－4x＋1＝0上运动，而yx则可看成是圆上的点与原点连线的斜率，y－x可以转化为截距，x2＋y2可以看成是圆上点与原点距离的平方．解(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k－0|k2＋1＝3，解得k2＝3，∴kmax＝3，kmin＝－3.(也可由平面几何知识，得OC＝2，CP＝3，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°)(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－6.(3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC，-5-与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－3)2＝7－43.思维升华(1)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可转化为函数求最值．(2)①形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是()A．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5)C.5，4－5D.12(5＋2)，12(5－2)答案B解析如图，圆心(1,0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离为d＝45，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1，又|AB|＝5，故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.题型三与圆有关的轨迹问题例3设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．思维点拨结合图形寻求点P和点M坐标的关系，用相关点法(代入法)解决．解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2＝x0－32，y2＝y0＋42.从而x0＝x＋3y0＝y－4.-6-N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点－95，125和－215，285(点P在直线OM上的情况)．思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2014·课标全国Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x,2－y)．由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－13，故l的方程为y＝－13x＋83.又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM的面积为165.-7-利用几何性质巧设方程求半径典例：在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．思维点拨本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．规范解答解一般解法(代数法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，则有1＋E＋F＝0，3＋222＋D3＋22＋F＝0，3－222＋D3－22＋F＝0，解得D＝－6，E＝－2，F＝1，故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.巧妙解法(几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为32＋t－12＝3，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.温馨提醒(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题.方法与技巧1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．失误与防范1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．-8-2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况.A组专项基础训练(时间：45分钟)1．“a＝1”是“方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示一个圆，则(－2)2＋22－4a0，∴a2，又a＝1⇒a2，反之不成立，∴“a＝1”是“方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆”的充分而不必要条件．2．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25内弦AB的中点，则AB的方程为()A．x＋y－1＝0B．2x＋y－3＝0C．x－y－3＝0D．2x－y－5＝0答案C解析由题意可知圆心Q(1,0)，故kPQ＝－1.∴kAB＝1，∴AB的方程为y＋1＝1×(x－2)．即x－y－3＝0.3．已知点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x