2014年考研数学新大纲中概率论重点题型-矩估计和最大似然估计

12014年考研数学新大纲中数理统计重点题型——矩估计和最大似然估计2014年考研数学大纲已经于2013年9.13号下发,万学海文考研第一时间进行了解析.矩估计和最大似然估计都是以解答题的形式考查。2013年数一、数三都以解答题的形式考查了该中题型，所占分值为11分，但是从考生的做题情况和得分情况来看，考生对于这部分的内容掌握的不是很好。一是时间来不及，学生即使会，也来不及处理；二是很多学生复习的时候就放弃了。其实矩估计和最大似然估计的解题思路是非常固定的，考生只要掌握住思路了，这些题就可以拿到满分.一、矩估计矩估计法的基本思想是用样本的k阶原点矩nikikXnA11作为总体的k阶原点矩kkEX的估计.令kkA，即111,2nkkiiXEXkn（）.1、当只有一个未知参数时，我们就用样本的一阶原点矩即样本均值来估计随机变量的一阶原点矩即期望.令XEX.解出未知参数，就是其矩估计量.2、如果有两个未知参数，那么除了要用一阶矩来估教育学考研辅导计外，还要用二阶矩来估计.因为两个未知数，需要两个方程才能解出.解出未知参数，就是参数的矩估计.【例7.1】设总体X的概率分布为1{},1,2,,PXkkNN，其中N是未知参数(正整数)，利用总体X的如下样本值：1,3,2,3,2,1,2,NN，求N的矩估计值..【解析】由X的概率分布知，1111(){}2NNkkNEXkPXkkN，样本均值131323212824NxNN.令()XEX，得31242NN，解得ˆ4N，即N的矩估计值是4.二、最大似然估计法最大似然估计法的基本思想是求未知参数使得样本获取样本值的概率最大.最大似然估计法关键的是2正确写出似然函数。离散型随机变量和连续型随机变量的似然函数的写法是不同的。设nXXX,,,21是来自总体X的样本，12,,,nxxx是样本值，最大似然估计法的步骤①写出似然函数1111(,,;,,)(,,,)nnmimiLxxPx（离散型）1111(,,;,,)(,,,)nnmimiLxxfx；（连续型）②取对数lnL；③对1,,m求偏导数ln,1,,iLim④判断方程组ln0iL是否有解.若有解，则教育学考研辅导其解即为所求最大似然估计；若无解，则最大似然估计常在i的边界点上达到.【例】设总体X在区间0,上服从均匀分布，1,,nXX是取自总体X的简单随机样本，11,niiXXn1max,,nnXXX.(I)求的矩估计量和最大似然估计量；(II)求常数,ab,使12ˆˆ,naXbX均为的无偏估计，并比较其有效性.(数一)【解析】(I)由题设总体X的密度函数、分布函数分别为1,00,xfx，其他，0,0,,0,1,,xxFxxx令,2XEX解得的矩阵估计量为ˆ2X.似然函数为311,,0,niniixiLfx一切，否则，L为的单调减函数，且ix，即要取大于ix的一切值，因此的最小取值为1max,,nxx，的最大似然估计量1ˆmax,,nnXXX.(II)由于2EX，212DX，所以1ˆ2aEaEXaEX，取2a，即1ˆ2,X1ˆ,E1ˆ为无偏估计，且21ˆ2443DXDDXDXnn.为求得b，必须求nX的分布函数nFx及密考研培训度函数nfx，由1max,,nnXXX得1,nninniFxPXxPXxFx11,00,nnnnnxxfxnFxfx，其他.故100,1nnnnnnxnxnEXxdxdxn1122200,2nnnnnnxnxnEXxdxdxn2222.2121nnnnDXnnnn则2ˆ,1nnEbEXbn当1nbn时，2ˆE，即21ˆ=nnXn为的无偏估计，且2222221211ˆˆ===,2321nnnnDDXDnnnnnnn所以2ˆ比1ˆ有效.