2014年苏州市初三数学中考复习专题一数式运算因式分解分式数的开方

一、数式运算、因式分解、分式、数的开方【近四年江苏省十三大市中考数式运算、因式分解、分式、数的开方的分值与比率】(仅供参考)2011年2012年2013年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市1613．331613．332218．33苏州市2216．922821．542821．54无锡市2015．382015．381713．08常州市1815．002016．671714．17镇江市1815．002218．332319．17扬州市2315．333120．672013．33泰州市2315．333221．333020．00南通市1912．663322．002617．33盐城市1912．663221．333120．67淮安市2013．332617．331912．67宿迁市2516．673120．671711．33徐州市1411．671613．332517．86连云港2718．002718．003020．00平均20．3114．4425．6918．4522．1515．91【新课标要求】1．有理数(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小．(2)从代数意义、几何意义两方面理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法(绝对值内不含字母)．(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主)．(4)理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算．(5)运用有理数的运算解决简单的问题．2．实数(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，掌握用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．(2)了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根．(3)了解无理数和实数的概念、实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值．(4)掌握用有理数估计一个无理数的大致范围．(5)了解实际问题中的近似计算，会按问题的要求对结果取近似值．(6)了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，掌握实数的简单四则运算．3．代数式(1)理解用字母表示数的意义，能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示．(2)对一些简单代数式的实际背景或几何意义进行解释．(3)掌握求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，选择所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．4．整式与分式(1)了解整数指数幂的意义和基本性质；掌握用科学记数法表示数．(2)理解整式及相关概念，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算．(3)能推导乘法公式：22))((bababa；2222)(bababa，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算．(4)能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)、十字相乘法、分组分解法进行因式分解．(5)了解分式及相关概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算．【课时分布】本单元在第一轮复习时大约需7课时．下表为内容及课时安排(仅供参考)．课时内容1实数相关概念及简单混合运算1整式相关概念及运算1数式运算单元测试与评析1因式分解1分式1数的开方1因式分解、分式、数的开方单元测试与评析【知识网络结构】【基础知识专题讲解】专题1：实数的概念与分类1．无理数的概念及实数的分类：有理数无理数实数实际问题用字母表示数单项式多项式整式计算化简实际问题立方根平方根约分化简计算二次根式分式因式分解通分公式法提公因式法分式的加减数的开方分式的基本性质十字相乘法分式的乘除0正整数整数负整数有理数实数——有限小数或无限循环小数正分数分数负分数无理数——无限不循环小数2．研究实数的工具―数轴：明确实数与数轴上的点一一对应(数形结合)．3．相反数：若a,b互为相反数，则0ab．4．绝对值：它的几何意义：在数轴上表示数a对应的点与原点的距离．它的代数意义：(0)0(0)(0)aaaaaa5．倒数：若a,b互为倒数，则ab=1．(注意互逆运用)6．三种非负数：20naaaa；；(n为整数)．例12，0，1，3四个数中，最小的数是()A．2B．0C．1D．3【考点】有理数大小比较【分析】根据有理数比较法则或利用数轴解决【解】选D例2设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3a4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是()A．①④B．②③C．①②④D．①③④【考点】无理数的概念、无理数大小估计、数的开方运算、勾股定理．【分析】由勾股定理，得：324.2a，所以③错误，其它都正确．【解】选C．例3若5的值在两个整数a与a+1之间，则a=．【考点】估计无理数的大小．【分析】∵4＜5＜9，∴459，即253．由5的值在两个整数a与a+1之间，得a=2．【解】a=2．【说明】实数概念复习注意以下几点：1.对于有理数和无理数的理解认识要从数的表示形式入手，特别是对于227这样的有理数；2.初中遇到的无理数有三种形式：①特定结构的数，如5.020020002…；②开方开不尽的数，如2、3等；③特定意义的数，如π，sin45°等．它们的本质特征都是无限不循环小数；3.判断一个实数是有理数还是无理数，不能只看表面，要经过化简后才能下结论．例如：0(23)化简后等于1，因此0(23)不是无理数；4.要会用有理数估计一个无理数的大小，体现数学中的转化思想，培养估算意识．专题2：实数的运算【基本知识】1．运算法则(略)．2．运算律：交换律、结合律、分配律．3．运算顺序：先乘方、开方，然后乘除，最后加减，同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面的．例4计算：30(1)(31)9．【考点】实数的运算，算术平方根，零指数幂，乘方．【分析】按乘方、零指数幂、算术平方根3个考点分别进行计算，然后根据实数运算法则求得计算结果．【解】原式＝−1+1+3=3．例5某商场促销方案规定：商场内所有商品案标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额.消费金额(元)300~400400~500500~600600~700700~900…返还金额(元)3060100130150…注：300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同.根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400(180%)30=110(元)购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？【考点】运用有理数运算解决简单的问题．【分析】按实际问题列出式子计算．【解】购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元，顾客获得的优惠额为1000(180%)150=350(元)．【说明】实数运算复习注意点：1.乘方运算注意事项：注意分清底数；注意书写格式，若底数为负数或分数，书写时一定要加括号，注意运算顺序，运算时要先算乘方；2.有理数运算的合理性：几个分数、小数相加，尽量化成小数相加；几个分数、小数相乘，尽量化成分数相乘；能“整”不“分”、能“正”不“负”．专题3：近似数与有效数字、科学记数法1．近似数的表示方法：①精确到哪一位或者精确到小数点后第几位；②保留几个有效数字．2．确定有效数字的方法：找出左边第一个非零的数字和精确到数位上的数字，两者及两者之间的所有数字都是这个数的有效数字．3．把一个数表示成10na(110a，n为不等于0的整数)的形式．例6第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000名青少年志愿者提供服务，将13000用科学记数法表示为.【考点】科学记数法．【分析】根据科学记数法的定义，13000一共5位整数位，从而13000=1.3104．【解】13000=1.3104【说明】科学记数法的规律：①原数的绝对值大于10时，原数利用科学记数法写成10na形式，注意110a，n等于原数的整数位数减1;②原数的绝对值小于1时，原数利用科学记数法写成10na形式，注意110a，n等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数(包括小数点前面的零)．例如0.000123=1.23×104专题4：整式的有关概念1．定义：单项式和多项式统称整式．2．单项式：数字与字母的积所组成的代数式叫单项式，单独一个数字或字母也是单项式．单项式的属性有系数和次数．3．多项式：几个单项式的和叫做多项式．多项式的属性有次数和项数．例71(32)nmxy是关于x，y的5次单项式，且系数为1，则m=，n=．【考点】单项式相关概念．【分析】从单项式的次数和系数概念入手列出方程解决．【解】m=1，n=5．【说明】1.单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2143ab，应写成2133ab；2.圆周率π是一个无理数，在判断某一项的系数时，应将π作为系数，如22x的系数是2π，次数2；3．计算单项式的次数时，要把所有字母的指数相加．如单项式253xy的系数是53，次数是3；4.多项式中的项若不含字母，只是一个数字，则此项为常数项，写项时不要漏掉．专题5：整式的化简与求值1．整式的加减有括号先去括号，再合并同类项．2．整式的乘法(1)幂的运算法则；(2)整式乘法常见类型；(3)乘法公式．3．整式的除法例8化简：2(1)2xx=．【考点】整式的加减、完全平方公式．【分析】应用完全平方公式公式展开后合并同类项．【解】原式=x2+2x+1−2x=x2+1．例9下列计算中，正确的是()A．(a3b)2=a6b2B．a•a4=a4C．a6÷a2=a3D．3a+2b=5ab【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断后利用排除法求解．．【解】A.(a3b)2=a6b2，故本选项正确；B.a•a4=a5，故本选项错误；C.a6÷a2=a6﹣2=a4，故本选项错误；D.3a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选A．【说明】1．在中考中，直接考查整式乘法的题目并不多，而是在很多其它问题的解决中用到乘法公式，这就要求熟悉乘法公式的特点，看清项数及公式形式中的a、b，准确进行计算；2．要准确认识平方差和完全平方公式，必须结合面积法证明这两个公式，这种证明方法在初中数学中体现了数形结合的思想；3．在化简求值时要注意：当字母是负数时，代入后应加上括号，另外字母是分数时，遇到乘方也要加括号．专题6：因式分解1．因式分解的概念把一个多项式化为几个整式乘积形式，叫做因式分解，也叫做分解因式；2．因式分解法常用方法(1)提公因式法：()mambmcmabc(2)公式法：22()()ababab；2222()aabbab；3322()()ababaabb；3322()()ababaabb；(3)十字相乘法：2()()()xpqxpqxpxq例10分解因式：322288xxyxy【考点】提公因式法和应用公式法因式分解．【分析】因式分解的一般思考方法是：先看是否有公因式可提，再看能否用公式，二次三项式一般可以考虑用十字相乘法，对于项数为四项或四项以上的，考虑用分组分解法．【解】原式=222(44)xxxyy=22(2)xxy．例11当m+n=3时，式子m2+2mn+n2的值为．【考点】利用因式分解方法解决问题．【分析】将代数式化为完全平方公式的形式，代入即可得出答案．【解】m2+2mn+n2=(m+n)2=9．故答案为：9．【说明】1．分解因式是研究代数式的一种手段，不是目的．分解因式的思路和方法始终贯穿在数学变换中，通过分解